II э т а п - знакомство с уравнением

(в концентре «Сотня» - 2 класс, ч. 1, с. 68).

1. Дается понятие «уравнение», которое фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой х и введению термина «неизвестное число». На этом этапе уравнения решаются у с т н о способом подбора.

Начать работу можно с решения 2-3 примеров с «окошками»:

 + 7 = 10

 – 5 = 8

15 –  = 6

- В разных примерах неизвестное число было обозначено «окошком», а в математике принято обозначать неизвестное число буквами латинского алфавита. Будем обозначать неизвестное число буквой х:

х + 7 = 10

х – 5 = 8

15 – х = 6

- Это уравнения. Решить его - значит найти неизвестное число. Чему равно неизвестное число в первом уравнении? втором? третьем?

2. Следует обратить внимание на отличие уравнения от выражения с переменной и числовых равенств (М-2, ч. 1, с. 70, № 1).

3. Учатся читать уравнения различными способами.

III э т а п - овладение способом решения уравнения.

1. Знакомство с решением уравнения на основе знания зависимости между компонентами и результатом действия сложения (М3, ч. 1, с. 7).

Для решения уравнений с помощью правила предлагается такое уравнение, которое дети не могут быстро решить способом подбора, например: х + 14 = 79.

Чтобы они лучше уяснили последовательность выполнения операций на основе взаимосвязи между компонентами и результатом арифметических действий, полезно использовать памятку «Как решить уравнение»:

1. Прочитай уравнение.

2. Назови, что известно и что неизвестно в уравнении и вспомни, как найти неизвестное число.

3. Найди неизвестное число, выполнив соответствующее арифметическое действие.

4. Запиши, чему равен х.

5. Сделай проверку.

2. Решение уравнений на основе знания зависимости между компонентами и результатом действия вычитания (М3, ч. 1, с. 8), умножения (М3, ч. 2, с. 19), деления ((М3, ч. 2, с. 17).

3. С целью формирования умений решать уравнения предлагают разнообразные упражнения:

1) Решите уравнения и выполните проверку.

2) Выполните проверку решенных уравнений в неверно решенных уравнениях:

20 - х = 8 х + 7 = 13 х : 24 = 2

х = 20 - 8 х = 13 + 7 х = 24 : 2

х = 12 х = 20 х = 12

3) Составьте уравнения с числами х, 7, 10, решите и проверьте решение.

4) Из заданных уравнений выберите и решите те, в которых неизвестное число находят вычитанием (делением).

5) Из заданных уравнений выпишите те, в которых неизвестное число равно 8.

6) Рассмотрите решение уравнения, определите, чем является неизвестное в уравнении, и вставьте пропущенный знак действия:

х  2 = 12 х  2 = 12

х = 12 : 2 х = 12  2

7) Вставь пропущенный знак действия и закончи решение уравнений:

х + 39 = 81 81 – х = 39 х – 39 = 81

х = 81 … 39 х = 81 … 39 х = 81 …39

8) Подчеркни уравнения, которые имеют одинаковые корни:

а) х : 27 = 120 + 29 б) х  (47 – 35) = 312

х : (3  9) = 130 + 270 х  (40 – 27) = 300 + 12

х : (9  3) = 400 х  (43 – 30) = 290 + 22

х : (54 : 2) = 200  2 х : 13 = 312

9) Выбери уравнения, которые соответствуют данной схеме, и реши их:

х 16

1 ) х + 16 = 25 4) 16 + х = 25

2) х – 16 = 25 5) 16 – х = 25

25 3) 25 – х = 16 6) х  16 = 25

10) Выбери уравнение, которое соответствует данной схеме, и реши его:

64 29

х – 29 = 64

х + 29 = 64

х

11) Зачеркни уравнения, корни которых ты не сможешь найти:

375 – х = 207 х  70 = 9

375 – х = 481 630 : х = 5

х + 129 = 117 570 – х = 750

534 + х = 670 х + 483 = 384

х : 20 = 300 х – 390 = 217

540 : х = 8 720 : х = 70

12) Соедини уравнения, у которых одинаковые корни:

5  х + 3  х = 60 5  (х + 3) = 60

3  х + 15 = 60

8  х = 60 3  (х + 5) = 60

5  х + 5  3 = 60

15 + 5  х = 60 (5 + 3)  х = 60

13) Соедини уравнения, которые имеют одинаковые корни:

х – 128 = 375

х + 128 = 375

х : 7 = 154

х  7 = 154

375 – х = 128

х – 375 = 128

7  х = 154

х : 154 = 7

14) Решите уравнения, сравните уравнения и их решения:

х + 8 = 40 х  3 = 24

х – 8 = 40 х : 3 = 24

15) Пользуясь записью умножения «в столбик», найди корни уравнений:

_х 375 375  х = 9000 х = …

24 1500 + х = 9000 х = …

1500 375  х = 750 х = …

⁺750 375  х = 7500 х = …

9000 9000 – х = 1500 х = …

16) Запиши различные уравнения, пользуясь их решением. Вычисли корни уравнений:

а )

б )

17) Запиши уравнение, пользуясь его решением, и вычисли корень:

х = 12  7 х = 17  4 х = 54 – 38

х = … х = … х = …

18. Закончи деление и, пользуясь выполненной записью, найди корни уравнений:

_98437 173 х  173 = 865 х = …

865  69

_ 3 х – 10380 = 1550 х = …

_____

_ 98400 – х = 11900 х = …

_____

0. 173  х = 98437 х = …

18. Соедини каждое уравнение с его решением:

х + 6 = 42

х = 42 – 6

х = 36

х – 6 = 42

42 – х = 6

х = 42 : 6

х = 7

42 : х = 6

х  6 = 42

х = 42 + 6

х = 48

6 + х = 42

20) Вставь пропущенные знаки действий, чтобы получились уравнения, соответствующие данной схеме:

х 10 20 35 … (х + 10)= 20

х … 10 = 35 – 20 35 … х = 10 + 20

35

21. Используя данную схему, составь два уравнения и найди их корни:

15

х

23

871 : 6 = 145 (ост. 1)

22) Используя данную запись ,

найди корни уравнений:

6  х = 871 – 1 145  6 = 871 – х

х = … х = …

145  х = 871 – 1 145  6 + х = 871

х = … х = …

(871 – х) : 6 = 145 (871 – 1) : х = 145

х = … х = …

4. В 3 классе продолжается работа над уравнениями. В учебнике представлена система постепенно усложненных заданий, хотя уравнения остаются простейшими.

5. В 4 классе уравнения усложняются, в правой части вместо числа появляется простейшее выражение:

х – 16 = 14 + 5

6. Составление уравнений по задачам. Задачи предлагаются только с отвлеченными числами (несюжетные):

• Какое число надо увеличить в 3 раза, чтобы получить число, равное разности 96 и 6:

х  3 = 96 - 6

На этом этапе главным для учителя является умение составлять уравнения по тексту задачи.

Задание 12. Найдите в учебниках М-3 (М-4) различные упражнения с целью формирования умения решать уравнения.

У п р а ж н е н и я

1. В математике под выражением понимают построенную по определенным правилам последовательность математических символов, обозначающих числа и действия над ними. Выражения вида 15 + 3, 45 : 9 – 2, 5, (57 + 3) : 6 и т.п. называют ч и с л о в ы м и. Выражения вида a + b, b, (40 – b) : 2 и т.п. называют б у к в е н н ы м и. Подчеркните в приведенных ниже записях выражения: a + b = 7, c – b, 8, 25  3 – 10, 5  7, 13 + x = 20, (40 – 10)  2, 3  (5 + c).

2. При ознакомлении учащихся с числовыми выражениями в методике предусматривается определенная этапность, которая нашла отражение в схеме (см. выше). В каких классах рассматриваются указанные в схеме выражения?

3. На каких этапах изучения темы «Десяток» можно использовать следующие формы чтения равенств:

а) «к четырем прибавить два, получится шесть»; «из трех вычесть один, получится два»;

б) «пять увеличить на один, получится шесть»; «четыре уменьшить на один, получится три»;

в) «три плюс два, равно пяти»; «семь минус один, равно шести»;

г) «первое слагаемое – два, второе слагаемое – 4, найти сумму чисел»; «сумма чисел 4 и 5»; «уменьшаемое – 5, вычитаемое – 4, найти разность чисел»; «разность чисел 7 и 2».

4. На каком этапе и с какой целью учитель может использовать следующие упражнения?

1. Расставьте скобки так, чтобы равенства были верными:

25 – 15 : 5 = 2 3  6 – 4 = 6 24 : 8 – 2 = 4

2. Поставьте вместо звездочек знаки «+» или «–» так, чтобы получились верные равенства:

38 3 7 = 34 38 3 7 = 28

38 3 7 = 42 38 3 7 =48

3. Поставьте вместо звездочек знаки действий так, чтобы равенства были верными:

12 6 2 = 4 12 6 2 = 70 12 6 2 = 24

12 6 2 = 9 12 6 2 = 0

4. Из заданных пар примеров выпишите только те, где вычисления выполнены по правилам порядка действий:

60 – 20 : 4 = 10 4  3 + 20 : 5 = 16

60 – 20 : 4 = 55 4  3 + 20 : 5 = 28.

Используя скобки, измените порядок действий в оставшихся выражениях так, чтобы они имели указанное значение.

5. Вычислите значение следующих выражений:

6  10 – 20 : 4 6  (10 – 20 : 4) (6  10 – 20) : 4

5. Как могут рассуждать учащиеся при выполнении задания: «Закончите запись так, чтобы сохранился знак «равно» в следующих выражениях: 420 : (7  2) = 420 : 7 …, 48 – (30 + 2) = 48 – 30 …»? Какие знания, умения и навыки лежат в основе преобразования этих выражений?

6. Какова причина ошибки, которую допустил ученик , выполняя преобразование следующего выражения: (20 + 5)  2 = 20  2 + 5?

7. При ознакомлении учащихся с буквенными выражениями учитель поставил цель: научить детей записывать сумму двух чисел в виде выражения a + b. Для этого он предложил учащимся решить следующие задачи:

   1. На одной ветке 6 яблок, на другой 4 яблока. Сколько яблок на двух ветках вместе?

   2. На одной ветке 9 яблок, на другой 10. Сколько яблок на двух ветках вместе?

Решение этих задач дети записали так:

6 + 4 = 10 (ябл.) 9 + 10 = 19 (ябл.)

Ответ: 10 яблок. Ответ: 19 яблок.

Затем учащимся была предложена задача с буквенными данными: «На одной тарелке лежало а яблок, на другой b яблок. Сколько яблок на двух тарелках вместе?» На поставленный вопрос дети не смогли дать правильный ответ. В чем причина затруднений?

8. При ознакомлении с выражениями вида c + 10; 25 – d; а  4 и т.п. можно использовать следующие наглядные пособия:

Опишите методику использования данного наглядного пособия. Какие еще виды наглядности (предметной, изобразительной, схематической) целесообразно использовать при введении выражений с одной переменной?

9. Формированию каких представлений способствуют следующие упражнения:

1. Найдите значения выражения х + 4 при х = 1, 2, 3, 4.

2. Среди чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 найдите такое, при котором значение выражения х + 4 равняется 6.

3. Есть ли среди чисел 12, 5, 8, 16, 4 такие, при которых будут верны записи b + 5 = 13, 96 – х = 88?

10. Назовите дидактические цели упражнения на переход от таблицы с тремя строками к таблице с двумя строками: “Рассмотрите таблицу и заполните ее.

c	80	80	80	80
d	6	27	49	64
c - d

Как можно записать эту таблицу короче?» Опишите методику выполнения этого упражнения.

11. Какие понятия формируются у учащихся при выполнении следующего упражнения: «Из данного ряда чисел 0, 1, 15, 23, 40, 50 выберите подходящие значения для вычитаемого b и заполните таблицу:

b
23 – b

Какие вопросы можно задать учащимся после заполнения таблицы?

11. Сформулируйте задание к упражнению:

2 + 5 10 – 2 1 + 7 9 – 2

10 – 4 9 – 3 10 – 3 3 + 5

Как будут выполнять это задание дети?

11. Учитель так сформулировал задание к следующему упражнению: «Сравните выражения и, не вычисляя, поставьте знаки «  », «  » или « = »:

64 + 7 64 + 8 64 – 2 65 – 2

43 + 30 46 + 30 57 – 50 53 – 50

Проверьте себя вычислением». Дети рассуждали: «Слева записана сумма чисел 64 и 7, справа записана сумма чисел 64 и 8. Первые слагаемые этих сумм одинаковые, второе слагаемое суммы слева меньше второго слагаемого суммы справа, значит, сумма 64 + 7 будет меньше суммы 64 + 8. Проверим: 64 + 7 = 71, 64 + 8 = 72, 71  72». Аналогично рассуждают учащиеся при выполнении других заданий этого упражнения.

Какие знания использовали учащиеся при сравнении этих выражений? Какие еще знания могут использовать дети при сравнении выражений? Приведите примеры.

14. На что учитель должен обратить внимание учащихся при работе со следующим заданием: «Подберите такие числа, чтобы записи были верные:

45 – 10  45 –  18 + 40  18 + 

23 + 5  23 +  56 – 4  56 – 

Подберите из учебников другие задания, которые можно использовать с той же целью.

15. Подготовительный этап решения уравнений предусматривает задания, в которых даются примеры с окошками. Например, задания вида  + 3 = 5,  – 2 = 2, 9 –  = 7,  + 2 = 8. Каким способом решают дети примеры с окошками? Какие еще виды упражнений полезно включить на подготовительном этапе перед введением уравнений? Приведите примеры этих упражнений.

15. «Из данного ряда чисел при помощи стрелок укажите то значение неизвестного, которое соответствует уравнению». В каком классе ученики могут выполнить это задание и каким способом?

	5
22 + х = 62	40	х  3 = 21
	7
х + 21 = 25	4	42 : х = 7
	30
х – 15 = 8	23	а : 8 = 5
	6
41 – х = 11	10	9  b = 36
	15

17. На каком этапе обучения можно предложить учащимся задание: «Из ряда чисел 3, 4, 5, 2, 1 выберите те, при подстановке которых вместо х получится верное равенство: х + 5 = 9, х – 5 = 1,

7 – х = 2»?

Какова цель такого задания?

О т в е т ы :

3. а) На этапе усвоения смысла действий сложения и вычитания; б) на обобщающих уроках по нумерации чисел в пределах 10; в), г) в теме «Сложение и вычитание чисел в пределах 10».

5. Ученик может рассуждать так: «Надо число 420 разделить на произведение чисел 7 и 2, число 420 уже разделили на 7, на первый множитель, чтобы сохранился знак «равно», надо полученный результат разделить на второй множитель 2, получится 30».

Знания правил, как разделить число на произведение; как вычесть сумму из числа, умение делить и вычитать разрядные числа, навыки табличного умножения и деления.

6. Причина ошибки связана с «неправильным переносом» знаний. В данном случае ученик переводит знание правила прибавления числа к сумме на решение примера, в котором надо сумму умножить на число. Индивидуальные задания помогут ученику увидеть сходство и различие в рассматриваемых выражениях и отдифференцировать одно правило от другого.

7. Нужно было, во-первых, сосредоточить внимание учащихся на записи решения задач в виде выражения. Во-вторых, предложить детям самим составить 2-3 задачи аналогичного сюжета с другими числовыми данными:

1-ая ветка	6	9	5	2	10	а
2-ая ветка	4	12	5	3	15	b
Всего яблок	6 + 4	9 + 12	5 + 5	2 + 3	10 + 15	а + b

Учитель не сумел выделить существенные признаки при рассмотрении этих задач, которые позволили бы детям сделать правильное обобщение.

8. В качестве наглядности можно использовать карточки с записанными на них числами и знаками действий; целесообразно использовать и схематическую запись:

Слагаемое	12	10	8	0	с
Слагаемое	10	10	10	10	10
Сумма	12 + 10	10 + 10	8 + 10	0 + 10	с + 10

9. Представлению о букве как о переменной.

10. Формируется представление о переменной, постоянной величине, прослеживается характер изменения суммы (разности) в зависимости от изменения одного из компонентов (слагаемого, вычитаемого), отрабатываются вычислительные навыки.

12. Сравните выражения и поставьте между ними знак «  », «  » или « = ». При сравнении выражений дети опираются на сравнение их значений.

13. На знание зависимости между компонентами и результатами арифметических действий (изменение суммы и разности). Например, знание свойств арифметических действий, смысл действия умножения и т.д.

14. Упражнения с окошками готовят учащихся к ознакомлению неравенств с переменной вида b + 6  10, k : 3  6 и др. Поэтому, подбирая нужное число, важно побуждать детей не ограничиваться подстановкой в окошко одного числа, подставлять несколько таких чисел, при которых запись будет верной.

15. Способом подбора, на основе знания состава числа. Упражнения на закрепление состава чисел в пределах 10; на взаимосвязь между слагаемыми и суммой.

16. Выполняя задание, дети могут использовать способ подстановки вместо неизвестного числа из данного ряда. Тем самым у учащихся будут закрепляться вычислительные навыки. Дети могут вспомнить правило, как найти неизвестное число в уравнениях разного вида.

Л и т е р а т у р а

1. Бантова М.А. , Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах: Учеб. Пособие для уч-ся школьных отд. пед училищ. – М.: Просвещение, 1984.

2. Ивашова О.А. Ошибки в порядке выполнения арифметических действий и пути их предупреждения. Начальная школа, 1988, № 4.

3. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие для студентов средних педагогических заведений и факультетов начальных классов педвузов. – М.: LINKA-PRESS; Издательский центр «Академия», 1998.

4. Истомина Н.Б. Методика преподавания математики в начальных классах: Вопросы частной методики: Учебное пособие для студентов-заочников факультета подготовки учителей начальных классов/ М.: Просвещение, 1986.

5. Истомина Н.Б. Практикум по методике преподавания математики в начальных классах: Учебное пособие для студентов пед. институтов/ М.: Просвещение, 1986.

6. Истомина Н.Б. Шмырева Г.Г. Методика работы над уравнением. Начальная школа, 1983, № 9.

7. Смолеусова Т.В. Наглядные таблицы по математике для начальных классов: Пособие для учащихся / М.: Просвещение, 2002.

8. Стойлова Л.П. Математика: Учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 1997.

9. Учебники по математике для начальных классов.