Алгебра 2014

УДК 372.851

ББК 74.262.21

Печатается по решению кафедры

Б

теории и методики обучения

математике МПГУ

действительные числа (R)

мнимые числа (bi)

рациональные числа (Q)

иррациональные числа

трансцендентные числа (π, е, αβ, где α

алгебраическое число, не равное 0 и 1,

β – иррациональное)

дробные числа

целые числа (Z)

натуральные числа (N) 0 (нуль) противоположные натуральным

нечётные числа (2k – 1, k N)

чётные числа (2k, k N)

Название

Символь-

К о м п о н е н т ы

Название

№

вида

ная запись

действия

выражения

а

b

с - результат

1.

cумма

a + b = c

слагаемые

сложение

2.

произведение

a b = c

множители

умножение

3.

разность

a

- b = c

уменьшае-

вычитаемое

вычитание

мое

4.

частное (от-

a

: b = c

делимое

делитель

деление

ношение чи-

сел)

4а

дробь (отно-

a

числитель

знаменатель

деление

c

шение чисел)

b

5.

степень

ab = c

основание

показатель

возведение

степени

степени

в степень

6.

корень степени

b

c

подкоренное

показатель

извлечение

a

b из числа а

выражение

корня

корня

7.

логарифм

logab = c

основание

выражение

логариф-

логарифма

под знаком

мирование

логарифма

да

цифры

в одноимённых разрядах

одинаковы?

нет

то число больше, у которого цифра

то число больше, в записи

в одноимённом разряде обозначает

которого больше цифр

большее число

да

цифра,

нет

следующая за данным разрядом

от 0 до 4?

записать результат

увеличить число, соответству-

округления, не меняя

ющее этой цифре, на 1 и запи-

цифру данного разряда

сать результат округления

да

Число

отрицательных множителей –

чётно?

нет

записать перед произ-

записать перед произ-

произведение

ведением модулей

ведением модулей

равно 0

знак « + »

знак « - »

Мотивация расширения классов чисел

Дидактиче-

Математическая

Свойства

Математиче-

(с учётом профиля;

Классы

Реально-кон-

Геометрическая

Формально-

ские замеча-

основа

ская структу-

для гуманитарного

кретная

(соответствие

логическая

ния

ра (углубление

чисел

(практичес-

между точками

(потребности

- содержательный

знаний)

и числами)

математики)

уровень)

кая)

1.

Натуральные

счёт, измерение

усвоение

Аксиоматическая

тео-

1)

бесконечность

Полукольцо

с

числа N

величин

свойств

(ис-

рия натуральных чисел

2)

упорядоченность

нейтральным

(1 – 5 классы)

пользование

на

(Дж. Пеано, 1891; К.

3)

дискретность

)

элементом

содержательном

Вейерштрасс, 1878; Г.

4)

замкнутость (+,

умножения и без

уровне

системы

Грассман, 1861)

5)

ограниченность

нейтрального

аксиом Пеано)

снизу

элемента сложе-

ния

2. Положитель-

деление целого

существование

математиче-

1) деление «аб-

Множество

упорядо-

1)

бесконечность

ные дроби

на части, изме-

на

числовом

ское

выраже-

страктного

ченных пар натураль-

2)

упорядоченность

(5 – 6 классы)

рение величин:

луче,

точек,

ние результа-

целого»

на

ных чисел:

3)

плотность

длина

отрезка

которым

не

та

деления

равные

части;

< a, b >

4)

замкнутость

(выделены

должна

выра-

соответствуют

любых

нату-

2) упражнения,

(+,·, :)

жаться

числом

известные

уче-

ральных

чи-

иллюстрирую-

5)

ограниченность

в дидактичес-

(каким?)

никам числа

сел

щие

свойство

снизу

ких целях)

плотности;

3)

алгоритмы

3.

Целые

характеристика

существование

математиче-

1) практические

Множество

пар

нату-

1)

бесконечность

Минимальное

числа Z

изменения ве-

на

числовой

ское

выраже-

задачи,

приво-

ральных чисел

2) упорядоченность

кольцо,

являю-

(6 класс)

личин (tº, высо-

прямой

точек,

ние результа-

дящие к появле-

(Карл

Теодор

3)

дискретность

щееся

расшире-

та над уровнем

которым

не

та вычитания

нию

новых

чи-

Вильгельм

Вейер-

4)

замкнутость

нием полукольца

моря, движение

соответствуют

любых

нату-

сел; 2) алгорит-

штрасс, 1878)

(+, ·, ─)

натуральных

в

противопо-

известные

уче-

ральных

чи-

мы

выполнения

5) неограниченность

чисел

ложных напр.)

никам числа

сел

действий

Действительные

1) обобщение понятия рационального числа с иллюстрацией прин-

1)

Бесконечные

1)

бесконечность

Q - минимальное

числа R

ципов

расширения

одного

числового множества

до другого; 2)

десятичные дроби (К.

2)

упорядоченность

поле, являющее-

представление бесконечной десятичной периодической дроби в

Вейерштрасс, 1872)

3)

плотность

ся

расширением

4.

Рациональные

виде обыкновенной; 3) иллюстрация свойств множества рацио-

2)

Фундамен-

4)

замкнутость

отно-

кольца

целых

нальных чисел (на содержательном уровне) на примерах

тальные

последова-

сительно

всех

чисел

числа Q

Практические

«построение»

Решение

урав-

Алгоритм

из-

тельности

рациональ-

арифметических

R – алгебраичес-

(9 класс)

5.

задачи,

приво-

на

числовой

нений

вида:

х2

влечения

кор-

ных чисел (Георг Кан-

операций и

опера-

кая

система

с 2-

Иррациональ-

дящие к состав-

прямой

точек,

= b, где b не

ня квадратного

тор, 1879)

ции извлечение из

мя

бинарными

ные числа I

лению

квадрат-

соответствую-

является

точ-

из

рациональ-

3)

Сечения

в по-

корня из неотрица-

операциями.

Ак-

(8, 10 классы)

ных

уравнений,

щих

иррацио-

ным квадратом

ного числа

ле

действительных

тельного числа

сиомы:

поля,

где D - не точ-

нальным

чис-

b>0);

чисел (Рихард Деде-

5)

неограниченность

порядка,

Архиме-

ный квадрат

лам

кинд, 1872)

да, полноты

6.

Комплекс-

Дж.

Кардано,

установление вза-

выразить

ре-

Решение

зада-

1) геометрическая инте-

Поле С алгебраиче-

Минимальное по-

ные числа С (10

1545; Л. Эйлер,

имно-однозначн.

зультат

из-

чи,

приводя-

претация:

Вессель,

ски замкнуто, т.е.

ле,

являющееся

или 11 класс, ест.-

Ж. Д’Аламбер,

соответств.

меж-

влечения кор-

щей к квадрат-

Арган, Гаусс; 2) пары

любой многочлен с

расширением по-

мат. профиль)

К. Гаусс, 1799;

ду

числами и

ня

чётной

ному

уравне-

действительных чисел и

коэффициентами

из

ля

действитель-

использование

точками

«число-

степени

из

нию с D< 0

векторная интерпрета-

С разлагается на ли-

ных чисел с эле-

в мат. физике

вой плоскости»

числа а, а<0

ция (Гамильтон, 1837)

нейные множители

ментом i,: i2 = - 1