Алгебра 2014

N

Вид функции

Вид графика

y = - f(x) – график получен

1

симметричным отображением

графика f(x) относительно

оси OX

y = f(x-a) – график получен

2

сдвигом графика y = f(x)

вдоль оси ОХ на а единиц

вправо(влево), а > 0

y = f(x) + в – график получен

3

сдвигом графика y = f(x)

вдоль оси OY на в единиц

вверх, в > 0

y = f( x), где > 0 – график

4

получен сжатием

( rcos e иием) графика y =

f(x) вдоль оси ОХ с коэффи-

циентом, равным . Если <

T =

0, то используется преобразо-

вание, сводящее функцию к

виду y = -f( x).

T =4

y = f(x), где > 0 – график

5

получен растяжением графи-

ка y = f(x) вдоль оси OY с ко-

эффициентом

y = f( x )- график получен

6

отображением части графика

y = f(x), расположенной в I

и

IV четвертях, относительно

оси OY

y = f(x) - график получен

7

отображением части графика

y = f(x), расположенной в III и

IV четвертях (ниже оси ОХ)

симметрично относительно

оси ОХ

III.4. Свойства степенной функции (для самостоятельного заполнения учениками)

Степенная функция – у = хr

Показатель степени

r = n, n N

r = - n, n N

r =

m ;

m

> 1

r = m

;

r = -

m ;

m

> 0

n

n

n

n

n

0 < m

< 1

n

Вид степенной

у = х

у = х

у = х

у = х

у = х

функции с конкрет-

ным показателем

x R

x R, кроме х = 0

х 0

х 0

Область определе-

x > o

ния D(f) –

n = 2k

множество таких

n = 2k

значений аргумента,

при которых

функция имет смысл

при конкретном

значении показателя

n = 2k + 1

N = 2k + 1

График функции

Множество

значений E(f)

Чётность,

нечётность

Нули функции

Монотонность

Экстремумы

Промежутки

знакопостоянства

Ассимптоты

22

у = arcsin x

у = arccos x.

У = arctg x

у = arcctg x

Опр

Aрксинусом числа a

1,

Арккосинусом числа a

Арктангенсом числа a

Арккотангенсом числа a

е-

(arcsina

=

t0), где |a|

1,

(arctga

=

t0)

называют такое

(arcctga = t0) называют такое число

(arccosa = t0), где

à

деле

называют такое число, что

t0 0; ,

называют такое число, что

-ние

sin(arcsina) = a

число t

;

cos(arccosa) = a

0

2

, что

что ctg(arcctga) = a

t0 0;

2

t0

2

;

tg(arctga) =a

2

Гра-

фик

1

2

E (y) =

2

;

2

E(y) = (0; π)

3

возрастает при х D(y)

убывает при х D(y)

возрастает при х (- ; )

убывает при х (- ; )

4

arcsin( - x) = - arcsinx

rcos( - x) = π – arccosx

5

6

,

,

т.е. при всех х D(y)

т.е. при всех х D(y)

7

график функции имеет 2 гори-

график функции имеет 2 горизон-

зонтальных асимптоты:

тальных асимптоты: y = 0, y = π

наглядно графическим

аналитическим

(работа с графиком)

(работа с формулой)

изучаемой функции;

функции;

функции по графику;

на основе результатов исследования;

5.

обобщить полученные ре-

5. рассмотреть частные случаи

зультаты:

ввести

определение

функции;

функции

попытаться

обосновать

её свойства;

Формули-

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Опознавае-

ровки

мость це-

цель считается достигнутой, если ученик:

обобщён-

лей

ных целей

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1:

при-

а) анализирует текст учебника и

а) обобщает частные случаи

а) исследует заданные объекты и самосто-

Таблицы:

обретение

составляет

схему определения

расположения графиков функ-

ятельно составляет схему определения по-

а)

классифи-

и преобра-

понятия новой функции; б) ил-

ций и составляет схему опреде-

нятия новой функции, б) доказывает свой-

кация

функ-

зование

люстрирует

свойства

новой

ления понятия новой функции,

ства функций по определению; в) применя-

ций; б) гра-

УИ* и фо-

функции

на готовом

графике

сверяясь с учебником; б) дока-

ет конкретизацию к новой функции; г)

фики и свой-

рмирова-**

функции, используя учебник; в)

зывает свойства функции с

включает новую функцию в классифика-

ства

элемен-

приводит свои примеры функций

помощью графика и учебника

цию функций; д) по аналогии, выявляет

тарных функ-

ние ПУД

типы задач для данной функции

ций; в) по-

Ц 2: кон-

а) формулирует определения: функции, элементарных функций,

д) приводит примеры нефункциональ-

строение

гра-

троль усвое-

свойств функций, их графической интерпретации; б)

приводит при-

ных зависимостей; е) составляет класси-

фиков

функ-

ния теории

меры функций; в) выбирает графики основных элементарных функ-

фикацию функций; ж) перечисляет типы

ций и др.

ций; г) рассказывает краткие сведения из истории изучаемой темы

задач, по данной теме

Ц 3: при-

умеет: а) читать график элементарной функции;

б) строить графики элементарных функций; в) находить

приём само-

регуляции,

область определения, множество значений и корни функций для заданий своего уровня сложности;

менение

таблицы

с

знаний

и

в) по графику опреде-

в) исследовать функцию на чётность и нечётность; г) находить аналитически

предписани-

промежутки знакопостоянства функции для заданий своего уровня сложности

умений

лять чётность и нечёт-

ями;

карточ-

ность; корни и проме-

д) строить

графики

элементарных

е) строить графики функций: содер-

ки

–

инфор-

жутки

знакопостоян-

функций с

помощью

преобразований

жащих модуль; используя преобразо-

маторы

ства

произвольной

симметрии (ОХ) и сдвига относительно

вания сжатия и растяжения относи-

функции

осей координат

тельно осей

ж) составлять задания на исследование свойств и построение графиков функций

Ц 4: фор-

на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,

приёмы

кон-

мирование

организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих

троля,

оценки

коммуни-

уровней с обоснованием; б) оказывает помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) со-

и

др.;

таблица

коммуника-

кативных

ставляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения

тивной компе-

умений

товарищу и проверяет решение; г) осуществляет поиск информации для подготовки письменного сообще-

тентности

ния и устного выступления в соответствии с темой

Ц 5: фор-

в соответствии со своим уровнем освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает

приёмы

по-

становки

це-

мирование

темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет

лей и саморе-

организа-

самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает свою УПД по данным объ-

гуляции УПД

ционных

ективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает вы-

воды по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на коррекцию, планирует кор-

умений

рекцию учебной познавательной деятельности (УПД)

* УИ – учебная информация; ** ПУД – познавательные учебные действия

IV. ЛИНИЯ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

IV 1. Классификация уравнений (типы уравнений)

Уравнения

смешанные

алгебраические

трансцендентные

рациональные

иррациональные

показатель-

логарифми-

тригономет-

ные

ческие

рические

дробные

целые

1-й степени

2-й степени

биквадратные

другие

линейные

квадратные

IV 2. Линейные уравнения

1)

уравнение

и

2)

стандартный вид: aх + b = 0, а, b – числа, х - переменная

aх + b = 0,

aх = - b;

если а 0, то х = -

b

- единственный корень;

a

если а = 0

и b = 0, то х – любое число;

если а = 0

и b 0, то корней нет

В. Равносильные преобразования

уравнений

неравенств

Если

f(х) –монотонная функция и

Если f(x1) > f(x2), то

f(x1) = f(x2),

то

x1 > x2

x1 < x2

x1 = x2

f – возрастает

f – убывает

(4) Обе части уравнения (неравенства) с неотрицательными частями можно воз-

водить в квадрат (в любую чётную степень).

С. Преобразования логической структуры

уравнений

неравенств

1. Произведение равно нулю:

1.

f(x) g(x) 0 

f(x) 0

и

f(x) • g(x)=0 

g(x) 0

f(x) = 0

f (x)

0 f (x) 0

g(x) – имеет смысл,

2.

g(x)

и

g(x)=0

g(x) 0

f(x) – имеет смысл

3.

(f(x))n 0  f(x) 0

2. Дробь равна нулю

f (x)

f (x) 0

4.

2n

>0



f(x) – любое, кроме f(x)

0

(f(x))

g(x)

g(x) 0

= 0

3. Степень равна нулю: (f(x))n = 0  f(x) = 0

(f(x))2n+1 > 0  при f(x) > 0

4. Преобразования при решении систем

(f(x))2n+1 < 0  при f(x) < 0

уравнений:

а)

f (x) + g (x) = Ψ(x)

5.

f(x) • g(x) > 0

f1(x) + g1(x) = Ψ1(x)

f (x) 0

f(x)+g(x) f1(x) g1(x) = Ψ(x) Ψ1(x)

f (x)

> 0

g(x) 0

,

б)

f(x) + g(x) =

Ψ(x)

f (x) 0

g(x)

f1(x) + g1(x)

Ψ1(x)

5. Замена переменной и подстановка: f( (x)) = 0

g(x) 0

(x ) t

t - ? – ограничения

6.

f(x) • g(x) < 0

f (t) 0

f (x )

0

f (x) 0

6. f(x) =

f (x) 0

0

,

, раскрытие модуля

g(x)

g(x)

f (x)

f (x ) 0

f (x) 0

g(x ) 0

f (x)

(1)

Квадратное уравнение:

(4) Разложение на множители

1) уравнение

и

квадратного трёхчлена: ax

2

+ bx + c:

2

2) стандартный вид: ax

+bx+c = 0;

ax

2

+ bx + c = a (x – x1) (x – x2),

a 0;

где x1, x2 - корни трёхчлена

(2)

Решение квадратного уравнения:

(5) Теорема Виета

x2 + px + g = 0 – приведенное квадратное

D = b2 – 4ac – дискриминант

уравнение (а = 1), х1, х2 – корни

(подкоренное выражение)

x1 x2 p

x1 x2 g

- теорема Виета

a)

b 0, с 0, b 2k

(6) Неполные квадратные уравнения

b

b

2

4ac

x1,2 =

;

а) b 0, с = 0 ax2

+ bx = 0

2a

х (ах+b)=0 х = 0 или х = - b/а;

б)

b 0, с 0, b = 2 k

б) b = 0, с 0 ax2 + c = 0 =>

b

b2

ax2 = - с

х1,2 =

2

4 ac

;

c

a

x2=-

c

x1,2 =

c

, где

0 .

(3)

Исследование:

a

a

a

а

b

=

с

время

производительность

работа

количество

цена

стоимость

время

скорость

расстояние

площадь

урожайность

урожай

Ситуации/величины

а

b

с

1

б) равенство;

в) сумма

10. Составить уравнение и решить его.

11. Проверка – косвенная.

Проценты

Процент (%) числа (р) - сотая часть числа - р % =

р

;

100

Требование задачи

Формула

Словесное правило

I. Чтобы

найти р% от

p

нужно

число

умно-

жить

на

%,

переве-

числа а, т.е. число b

b = a 100

дённый в десятичную

дробь

II. Чтобы найти число а

b

нужно

число

разде-

по его проценту - р% и

a =

лить на %, переведён-

p :100

ный

в

десятичную

числовой части – b

дробь

Чтобы найти процентное

b

нужно

первое

число

разделить на второе и

отношение (p%)

p% = a 100

умножить на 100%

чисел b и a

Формула сложных процентов

p

А = a(1

)n – старое значение величины, р – процент изменения ( -

x1 x2

m

y

D 0

1.

xâåðø .

f

m 0

x

m

x

верш.

x1

x2

m

y

x1 m x2

D 0

2.

f m 0

m

x1

x2

x

y

D 0

3.

xâåðø .

f m 0

xверш. m

m x

x

x

1

2

m x1

xâåðø .

x2

a 0,