Алгебра 2014

№

Типы тригонометрических уравне-

Типы преобразований

Предупреждение типич-

Профиль для

п/п

ний

ных ошибок

изучения

I.

Стандартные уравнения: (1) sinx = a,

Главные формулы для решения

Для (1), (2): |a| 1,

все про-

(2) cosx = a, (3) tgx = a, (4) сtgx = a

уравнений

(3): х π/2 + πn, n Z

фили

(4): х πn, n Z

II.

Простейшие уравнения:

Равносильные преобразования: а)

правильное использование

все про-

(1) α sin(βx + δ) = γ,

перенос слагаемых из одной части

теорем о равносильных

фили

(2) α cos(βx + δ) = γ,

уравнения в другую; б) деление

преобразованиях; для (1) и

(3) α tg (βx + δ) = γ,

обеих частей уравнения на число

(2): |γ/α| 1;

(4) α ctg(βx + δ) = γ

( 0); Главные формулы

для (3): βx + δ π/2 + πn,

для (4): βx + δ πn, n Z

III.1

Уравнения вида:

Рассмотрение совокупности

все про-

(Т(βx+δ) +Т1(х)) (Т2(β2+δ2) + Т3(х))=0,

Арифметические

преобразования

уравнений, причём каждый

фили

где Т, Т1, Т2, Т3 - тригонометриче-

логической структуры: произведе-

множитель

имеет

смысл

ские функции

ние равно нулю, если один из мно-

при всех х

III.2

Уравнения вида:

жителей равен нулю, а другой при

Множители

имеют

смысл

(Т(βx+δ) +Т1(х)) (Т2(β2+δ2) + Т3(х))=0,

этом имеет смысл;

не при всех х, поэтому рас-

где Т, Т1, Т2, Т3 - тригонометрические

I, II

смотрение

совокупности

функции

систем уравнений или не-

равенств

Профили, с

IV.1

Уравнения вида:

Арифметические

преобразования

Рассмотрение системы из

количе-

(Т(βx+δ) +Т1(х)) : (Т2(β2+δ2)+Т3(х))=0,

логической структуры: дробь равна

уравнения

и неравенства,

ством часов

где Т, Т1, Т2, Т3 - тригонометрические

нулю, если числитель равен нулю, а

причём знаменатель,

всегда

в неделю,

знаменатель не равен нулю;

не равен нулю

больше 4

функции

I, II

IV.2

Уравнения вида:

Проверка условия: знаме-

Т(βx+δ) ׃ Т1(β1x+δ1) = 0, где Т – три-

натель не равен нулю

гонометрическая функция

V.1

Уравнения вида:

Логические преобразования логиче-

Ограничение на введённую

все про-

F(Т(βx+δ)) = 0, тогда t = Т(βx+δ), t - ?

ской структуры: замена переменной

новую переменную

фили

где Т – тригонометрическая функция,

и подстановка;

|t| 1

F(t) – алгебраическая функция

I, II

V.2

Уравнения вида: α sin(βx+δ) α

Логические преобразования логиче-

Преобразование подстанов-

Профили,

cos(βx+δ)+α1sin(βx + δ) α2cos(βx+δ)+

ской структуры: замена переменной

ки: возведение в

квадрат

с

количе-

+ γ = 0, тогда: sin(βx+δ) cos(βx+δ) =

и подстановка (сложная подстанов-

(появление

посторонних

ством

ча-

t, |t| 2 и

ка);

корней), ограничения

сов в

не-

sin(βx + δ) cos(βx + δ) = ½ (t2 1)

I, II

делю,

больше 4

V.3

Уравнения, при решении которых ис-

Логические преобразования логиче-

Возможная

потеря

корней:

математи-

пользуются универсальные подстанов-

ской структуры – подстановки:

проверка подстановкой тех

ческие

ки и формулы, связывающие функции

2tg

2

значений,

при

которых

классы

тангенс и котангенс одинакового аргу-

sin 2

, сos 2

1 tg

функции tgα, ctgα не опре-

tg2

1 tg2

мента или двойного

1

делены

VI

Однородные тригонометрические

а) равносильные преобразования:

Для неполных однородны

уравнения: α sin(βx+δ)+α2cos(βx +

деление обеих частей уравнения на

уравнений добавляется пре

δ)=0 первой степени,

выражение ( 0) в той степени,

ка-

образование: вынесение з

α1sin2(βx+δ)+α2cos2(βx+δ)+ α3

кова однородность уравнения;

б)

скобку общего множителя

sin(βx+δ) cos(βx + δ) = 0 – второй сте-

замена переменной; в) I, II

к п. III.1

пени

Профили,

VII

Уравнения вида:

Применение тригонометрической

Ограничение на выражение

с

количе-

a sin(βx+δ) b cos(βx+δ) = с

формулы со вспомогательным аргу-

с

1

ством

ча-

ментом:

√а2 + b

2

сов в

не-

asin(βx+δ) bcos(βx+δ) = √

а2 + b2

делю,

sin(βx+δ φ), φ =arctg

b

больше 4

a

VIII

Уравнения, при решении которых ис-

Равносильные

преобразования

и

Синтез всех предыдущих

пользуются формулы преобразования

преобразования

одной

из частей

рекомендаций

тригонометрических выражений

уравнения в соответствии с триго-

нометрической формулой (к I– VII)

IX

Уравнения, корни которых удовле-

Синтез преобразований

Синтез всех предыдущих

творяют дополнительным условиям,

рекомендаций

должны быть отобраны (подстановка

в соответствующее выражение, реше-

ние неравенства относительно k, где х

= πk)

у

y= f(x)

y = f(x)

у

f '(x0)

А

f '(x0)

tg α < 0

tg α > 0

А

f1(x0) < 0

1

(x0) >0

f

α

х

α

х

х0

х0

у = кх + b – уравнение касательной,

В

y

f '(x0) = ккас. = tg α

к = ккас. = tgα,

b = OB

О

α

х

V.4. Применение производной к исследованию функций:

монотонности и экстремумов функции у = f(x)

производная функции на некотором про-

функция на этом промежутке

межутке:

1) производная функции больше нуля

функция возрастает

2) производная функции меньше нуля

функция убывает

3) значение производной функции в неко-

функция в этой точке может иметь

торой точке равно нулю

экстремум

4) значение производной функции в

функция в этой точке имеет максимум

некоторой точке х0

равно нулю и про-

y

изводная при переходе через эту точку

y0

maxf(x0) = y0

меняет знак с «+» на «-»

x0

x

5) значение производной функции в

функция в этой точке имеет минимум

некоторой точке х0

равно нулю и про-

y

minf(x0) = y0

изводная при переходе через эту точку

меняет знак с «-» на «+»

y0

x0

x

43

1)

производная постоянной величины (с – const):

(C)' 0

1)

производная суммы функций:

u v ' u' v'

2)

производная произведения функций:

(u v)'

= u'v + uv'

u v u v

3)

производная отношения функций (ν 0):

u

v

v2

4)

Производная

сложной функции: y f x

y f '

'

x

V.6. Производные элементарных функций

Функция

xn

sin x

cos x

tgx

ctgx

a x

ex

ln x

loga x

производная

nxn 1

cos x

-sinx

1

1

a x ln a

ex

1

1

функции

cos2 x

sin2 x

x

x ln a

а х1

х2

х3

х4

х5

х6

b х

ни

при

каждом

многократно

повторяемом

испытании

Обозначение: события А, В, С, …..

9. Достоверное событие

р = 1

Вероятность достоверного

события равна 1

10. Невозможное событие

P = 0

Вероятность невозможного

события равна 0

11. Случайное событие А:

0< р < 1

Вероятность случайного

Если все исходы при испы-

события - число от 0 до 1

N ( A)

Если в некотором испыта-

тании

элементарные, N –

р(А) =

N

нии: N - число всех элемен-

конечное число, то исполь-

тарных исходов, N(A) –

зуется

формула классиче-

число исходов, благоприят-

ской вероятности события

ствующих событию А (со-

бытие А появляется)

А

VI. 2. Основные теоремы теории вероятностей (для случайных событий)

№

Формула для вы-

Название и формулировка тео-

Виды событий

числения вероят-

ремы

ности события

1.

Несовместные

собы-

Теорема сложения вероятно-

тия –

не появляются

р(А + В) =

стей несовместных событий

вместе при испытании

= р(А) + р(В)

Если А и В – несовместные со-

бытия, то вероятность их суммы

(U) равна сумме вероятностей

этих событий

2.

Теорема сложения вероятно-

Любые два события

р(А

+

стей событий

В)=р(А)+р(В) -

Вероятность суммы двух собы-

- р(А В)

тий равна

сумме

вероятностей

этих событий минус вероятность

их произведения

3.

Независимые

собы-

р(А В) =

Теорема умножения вероятно-

тия - появление одно-

стей независимых событий

го не влечёт за собой

= р(А)

р(В)

Если А и В – независимые собы-

появление другого

тия, то вероятность их произве-

дения равна произведению веро-

ятностей каждого события

4.

Полная группа собы-

р(Н1) + р(Н2) + +

Теорема о сумме вероятностей

тий: несовместные,

р(Н3) + ….. +

событий полной группы

равновозможные, един-

+ р(Hk) = 1

Н1, Н2, Н3

…Hk – полная группа

ственно возможные

событий;

сумма

вероятностей

событий полной группы равна 1

5.

Противоположные

р(А) + р( À ) = 1

Теорема о вероятностях проти-

события – такие 2 со-

воположных

р( À ) = 1 - р(А)

бытия, что если одно

событий

р(А) = 1 - р( À )

из них происходит, то

Сумма вероятностей противопо-

другое - не происхо-

ложных событий равна 1

дит: А и À

6.

Зависимые события -

р(А/В)=

ð( ÀÂ)

Теорема об условной вероятно-

событие А

происхо-

сти события

ð(Â)

дит

при

условии

Вероятность зависимого собы-

условная вероят-

наступления

сначала

тия равна вероятности произве-

ность события А

события В

дения событий, деленной на ве-

Обозначается: А/В

роятность условия

7.

Н1, Н2, Н3 - полная

р(А) =

Теорема о полной вероятности

группа событий

р(Н1)р(А/Н1) +

условного события А

А/Н1, А/Н2, А/Н3 – за-

+р(Н2) р(А/Н2) +

Полная

вероятность условного

висимые события; А –

+ р(Н3) р(А/Н3)

события А равна сумме произ-

событие, наступаю-

ведений

вероятностей гипотез

щее при условии появ-

на соответствующую условную

ления одного из собы-

вероятность события А

тий Нi

Переоценка вероятно-

р(Нi/А) =

Формула Байеса

стей

гипотез,

когда

=

P(Hi/A) - вероятность гипотезы

событие А наступило

p( A / H i) p(H i)

Hi при наступлении события А;

P(A/Hi) – вероятность наступле-

p( A)

ния события А при истинности

гипотезы Нi,; p(Hi) – вероятность

гипотезы

Формули-

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Средства

обучения

ровки

цель считается достигнутой, если Вы:

теме

обобщён-

ных целей

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1: при-

а) формулируете

определения всех

видов

а) сравниваете различные комби-

а) сравниваете различные комби-

а) информа-

ционные

схе-

комбинаций,

событий с

использованием

наций объектов и распределяете их

наций объектов и распределяете их

обретение

мы

«Виды

набора заданий и учебника; б) разъясняете

на группы, используя помощь; б)

на группы; б) составляете приёмы

и преобра-

комбинаций

смысл теоремы, данной в учебнике; в) срав-

выполняете анализ данных ре-

решения задач данного типа с по-

зование

объектов»,

ниваете

решение

задач

первого

уровня

шённых задач 2-го уровня сложно-

мощью указаний; в) доказываете

УИ; фор-

«Основные

сложности и распределяете на группы в со-

сти и, обобщая, составляете приё-

формулы для нахождения числа пе-

мирование

понятия»,

ответствии с данными приёмами их решения

мы их решения; распределяете

рестановок, размещений, сочетаний

умствен-

«Основные

задачи на группы

ных

дей-

теоремы»;

б)

ствий

классифика-

Ц 2:

кон-

знаете: а) определение классической веро-

знаете: а) правило для нахождения

знаете: а) теорему и правило нахож-

ция

типов

троль

ятности события; б) классическую вероят-

геометрической вероятности; б)

дения наивероятнейшего числа «успе-

задач;

планы

усвоения

ностную схему; в) план статистической обра-

теорему и схему Бернулли; понятие

хов» в испытаниях Бернулли; б) поня-

решения

за-

теории

ботки информации; г) понятие кратность вари-

многоугольника распределения, по-

тия и формулы: среднее квадратиче-

дач,

карточ-

анты, понятие объем измерения; д) формулы для

нятие гистограммы распределения; в)

ское отклонение, мера центральной

ки-

вычисления: частоты и процентной частоты ва-

понятия: квадрат ошибок, дисперсия

тенденции; в) алгоритм использования

информаторы

рианты; е) таблицу распределения частот; ж)

и формулы для их вычисления; г)

Гауссовой функции в вычислениях; т)

приёмы

ре-

понятия: объем, размах, мода, медиана, среднее

Гауссову кривую

закон больших чисел, понятие стати-

шения

задач

арифметическое и правила их вычисления,

стической устойчивости

различных

Ц 3: при-

умеете:

а) использовать основные опреде-

умеете: а) использовать все определения, правила и теоремы для реше-

типов

ления, правила и теоремы для решения клас-

ния задач; б) пользоваться методами нахождения вероятности событий

менение

сических вероятностных задач уровня ЕГЭ;

и вероятности числа успехов; в) решать задачи своего уровня сложно-

знаний

и

б) составлять

аналогичные задачи

сти; г) составлять задачи: аналогичные данным; обобщать и конкре-

умений

тизировать данную задачу

Ц 4: фор-

на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей, организует

приёмы

кон-

взаимоконтроль, взаимопроверку по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказывает помощь

троля,

оценки,

мирование

товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) в соответствии с темой готовит сообщение и выступает с ним; г)

коррекции

и

коммуни-

составляет контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения товарищу и

др.;

кативных

проверяет решение

умений

Ц 5: фор-

в соответствии со своим уровнем освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает темы для до-

приёмы

само-

полнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет самопроверку с использова-

контроля,

са-

мирование

организа-

нием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает свою УПД по данным объективным критериям; по собственным кри-

мооценки,

ре-

ционных

териям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших дей-

флексии УПД

умений

ствиях, направленных на её коррекцию, планирует коррекцию УПД

47