Алгебра 2014

х1

х2

х

x1 x2

x

М

-b/2a

N

M

-b/2a

N

a > 0

a < 0

D ≥ 0

D ≥ 0

f(M) > 0

f(M) < 0

f(N) > 0

f(N) < 0

M < --b/2a < N

M < --b/2a < N

x1

x2

x

x1

x2

x

M

N

M

N

a > 0

a < 0

f(M) < 0

f(M) > 0

f(N) > 0

f(N) < 0

x1 N x2

x1

x2

x

x

M

N

M

a < 0

f(M) < 0

a > 0

f(N) > 0

f(M) > 0

f(N) < 0

a > 0

a < 0

f (M) < 0

f (M) > 0

f (N) < 0

x1

x2

x

f (N) > 0

x1

x2

x

М N

M N

2) общий вид уравнения

Р(х)

= R(x),

P(x), Q(x), R(x) – рациональные

Q(x)

Использование пре-

образования логиче-

Использование равносильных преобразований

ского следования

для уравнений

для неравенств -

два стандарта

2k f (x) (x)

1)

2k f (x) (x)

(x) - любое алгебраическое выражение

f (x ) 0

1. ОДЗ: f(x) 0

< = >

2. Решить

урав-

f (x) 0

(x ) 0

2k

нение:

f (x ) ( (x ))

f(x) = ( (x))2k

(x)

0

2)

2k

f (x) (x)

( (x))

2k

3. Корни, вхо-

f (x)

дящие в

ОДЗ,

f (x) 0

проверить

под-

первая строка системы - ОДЗ;

f (x) 0

становкой в дан-

вторая строка - условие приме-

(x) 0

или

0

2k

(x)

ное уравнение.

нения теоремы В4 (таблица

f (x) ( (x))

Замечание:

IV.3);

Замечание:

шаг 1 можно не

третья строка - результат при-

условие f(x) 0 в некоторых

выполнять

менения теоремы

случаях

является

избыточ-

ным

№

Название способа

I

По определению модуля через расстояние:

модулем числа называется расстояние от точки, соответствующей данно-

му числу, до начала координат.

1) f(x) = a,

а 0 => f(x) = a, при а 0 – нет корней;

2) f(x) > a

<=> при а 0 f(x) < - a или f(x) > a,

решение неравенства - объединение решений двух неравенств;

если а 0, то х R из ОДЗ f(х)

3) f(x) < a <=> при а > 0 --a < f(x) < a равносильно

системе:

f (x ) a

т.е. пересечение решений двух неравенств

f (x ) a

при а 0 - нет решений

Замечание: применяется, если f (x) - любая функция, а - число

II

Возведение обеих частей в квадрат (при условии, что обе части неотри-

цательны) и f(x) 2 = x2

Неравенства и уравнения вида:

f (x) (x)

(x) > 0

f (x) = (x); f (x) < (x)

f (x) > (x). f (x) < (x)

Замечание: после возведения обеих частей в квадрат уравнение или нера-

венство должно быть «решаемым», например, если f(x) и (x) - линейные

выражения

III

По определению модуля по формуле:

6. f(x) = g(x)

f (x) 0

f (x) g(x)

f (x) 0

f (x) g(x)

Замечание: применяется для решения уравнений и неравенств, содержа-

щих 1 знак модуля, когда второй способ не подходит

IV

Метод промежутков

Приём:

1) найти значения х, при которых выражение под каждым модулем равно

нулю: х1,....хn

и отметить соответствующие им точки на числовой пря-

мой в порядке возрастания;

2) проверить знак выражения под каждым модулем в каждом интервале;

3) раскрыть модули по определению в каждом интервале;

4) решить объединение полученных систем (число систем равно числу

интервалов);

5) записать ответ

Замечание: применяется для решения уравнений и неравенств, содержа-

щих более одного знака модуля;

№

Показательное уравнение:

Показательное неравенство:

1) уравнение,

1) неравенство,

2) содержит переменную только в

2) содержит переменную только

показателе степени

в показателе степени

I

1) стандартный вид:

1) стандартный вид:

a f (x) = a (x)

или a f (x) = b

af (x) > a (x) (<, , )

ОДЗ для

f (x)

ОДЗ для f(x),

ОДЗ для

f (x)

ОДЗ для

f (x)

(x)

a>0, a 1,

(x)

(x)

ОДЗ для

ОДЗ для

ОДЗ для

f(x) = loga,b

f(x) = (x)

a > 1

0 a 1

a > 0

b>0

f (x) (x)

f (x) (x)

a 1

IV

Функционально - графический способ (в том числе, для решения

смешанных уравнений и неравенств) - учёт свойств функций, записан-

ных в левой и правой частях уравнения (неравенства):

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) чётность, нечётность;

г) разномонотонность функций и теорема о корне

V

Логарифмирование: af (x) = b (x) => loga af (x) = loga b (x)

=>

f(x) logaa= (x) loga b => f(x) = (x) loga b,

a > 0; b > 0; a 1; b 1

у= ax – показательная функция и её график, a > 0;

a 1

у = ех

1

45º

у/ (0) = tg45º = 1

IV. 13. Логарифмические уравнения и неравенства

№

Уравнения

Неравенства

I

1) loga f(x) = loga (x) стандартный

2) loga f(x) > loga (x)

вид (1)

f (x) 0 ОДЗ

ОДЗ

(x) 0

f (x) 0 ОДЗ

f (x) 0 ОДЗ

f (x) (x)

(x) > 0 - ОДЗ

(x) > 0 - ОДЗ

a 0

a > 1

0 < a < 1

a 1

f (x) (x)

f (x) (x)

loga f(x) = b – стандартный вид (2)

Обобщённые

свойства лога-

f (x) 0

рифмов:

а

b

f (x)

(2) loga(bc) = loga b + loga c

a 0

loga(b:c) = loga b - loga c

a 1

2n

loga b = 2n loga b

II

Однородные логарифмические уравнения:

α loga2f(x) + β logb2f(x) + γ logaf(x) logbf(x) = 0 | обе части уравнения

разделить, например, на loga2f(x)

0, ввести новую переменную,

решить полученной алгебраическое уравнение, и добавить корни

уравнения f(x) = 1

Общие способы решения всех уравнений (неравенств), основанные

III

на преобразованиях группы С

- замена переменной с ограничением и подстановка;

- произведение равно нулю;

- дробь равна нулю и др.

Функционально - графический способ (в том числе, для решения

IV

смешанных уравнений и неравенств) - учёт свойств функций, запи-

санных в левой и правой частях уравнения (неравенства:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) чётность, нечётность;

г) разномонотонность функций и теорема о корне

у = loga x – логарифмическая функция и её график, a > 0; a 1

Формули-

Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель

Опознавае-

ровки

мость це-

обобщён-

цель считается достигнутой, если ученик:

лей

ных целей

на первом уровне

на втором уровне

на третьем уровне

Ц 1: при-

а) сравнивает уравнения по за-

а) составляет схему определения

а) даёт определение типов уравне-

а)

общая

обретение

данным признакам и составляет

понятия конкретного типа уравне-

ний, составляет классификацию ти-

схема

опре-

и преобра-

схему определения

понятия

ния с использованием набора объ-

пов уравнений; набор уравнений; б)

деления

по-

зование

конкретного типа

уравнения с

ектов; б) выполняет анализ и вы-

выполняет анализ и выявляет пре-

нятия;

б)

УИ

*

и фо-

использованием

учебника

(др.

являет

преобразования, нужные

образования, нужные для решения

классифика-

помощи);

в) сравнивает реше-

для решения уравнений, с исполь-

уравнений, в) составляет приёмы

ции

типов

рмирова-

ние однотипных уравнений 1-го

зованием помощи; в) обобщает

решения уравнений и неравенств

выражений,

ние ПУД**

уровня сложности

решение уравнений одного типа

данного типа с помощью указаний

функций,

уравнений

Ц 2: кон-

знает: а) определение уравнения, классификацию и определение типов уравнений; б) стандарты урав-

информаци-

троль

нений каждого типа и их решение; в) преобразования групп «А», «В», «С»; г) способы выполнения проверки;

онные

схе-

усвоения

д) метод интервалов; е) приёмы графического решения уравнений, неравенств; ж) прием решения текстовых за-

мы,

карточ-

теории

дач с помощью уравнений; з) способы раскрытия модуля; и) приём анализа вида выражения; к) приёмы саморегу-

ки-информа-

ляции; л) мировоззренческое значение уравнений и неравенств

торы

Ц 3: при-

умеет: а) использовать ос-

умеет: а) использовать все преобразо-

умеет использовать: а) функцио-

приём

само-

менение

новные преобразования для

вания для решения уравнений и нера-

нальный метод для решения урав-

регуляции,

знаний и

решения простейших урав-

венств; б)

метод интервалов – для

нений; б) метод интервалов – для

предписа-

умений

нений и неравенств в со-

решения неравенств и их систем; в)

решения неравенств и их систем; в)

ния;

стан-

ответствии со

стандарта-

решать текстовые задачи 2-го уровня

решать текстовые задачи третьего

дарты

урав-

ми; б) решать простейшие

сложности

уровня сложности

нений,

нера-

текстовые

задачи

и

со-

г) составлять задачи: по данному уравнению, аналогичную задачу; обоб-

венств,

их

ставлять

их,

используя

щать и конкретизировать данную задачу; составлять текстовую задачу

решение

простейшее уравнение

Ц 4: фор-

на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказывает помощь, рецензирует ответы товарищей,

приёмы

кон-

мирование

организует взаимоконтроль, взаимопроверку на всех этапах УПД по выполненным заданиям предыдущих

троля, оценки и

коммуни-

уровней с обоснованием; б) оказывает помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) в со-

др.;

таблица

коммуникатив-

кативных

ответствии с темой готовит сообщение и выступает с ним; г) составляет контрольную работу в соответ-

ной

компетент-

умений

ствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяет решение

ности

Ц 5: фор-

в соответствии со своим уровнем освоения темы а) сам выбирает уровень освоения темы; б) выбирает

приёмы

са-

мирование

темы для дополнительного изучения; в) формулирует цели своей учебной деятельности; г) осуществляет

морегуляции

организа-

самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оценивает свою УПД по данным объ-

УПД

ционных

ективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делает вы-

умений

воды по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на её коррекцию, планирует

коррекцию УПД

* УИ - учебная информация; ** ПУД – познавательные учебные действия

N

Прогрессии

арифметическая (а. п.)

геометрическая (г. п.)

1)

a1, a2, a3, a4, a5, a6,…an

b1, b2, b3, b4,…bn

a1; a1

+ d; a2 +d; a3 +d, a4 +d,…

b1, b1q; b2q, b3q, b4q…

an

= an-1 + d - определение а.п.

bn = bn-1 q - определение г.п.

d = an

- an-1, d разность прогрес-

q - знаменатель прогрессии:

q =

bn

сии

bn 1

2)

a1, a1

+ d; a1 +2d; ...an = а1+ (n-

b1, b1q; b1q2, ... bn = b1 qn-1

- формула

1)d -формула общего члена а.

общего члена г. п.

п.

3)

Sn =

a1 an

n - сумма n членов

Sn =

b1 (1 q

n

) - сумма n членов геомет-

2

1 q

арифметической прогрессии

рической прогрессии. Если q < 1, то

S =

b1

- сумма членов бесконечно

1 q

убывающей геометрической прогрес-

сии

4)

Характеристические свойства

Характеристические свойства геомет-

рической прогрессии

Арифметической прогрессии

1)

bn или b2n = bn-1 bn+1

1)

a

n 1

a

n 1

an или

bn 1 bn 1

an-1

+ an+12 = 2an;

2) b1bn = b2bn-1 = b3bn-2 = …..

2) a1 + аn = a2 + an-1 = a3 + an-2 =

…..

Приём выполнения заданий типа: решить не-

Рефлексия

равенство

(и принятие решения о

помощи)

1) определить тип неравенства;

Знаю ли я типы нера-

венств

2) определить стандартное оно или нет

Знаю ли я стандартный

а) если стандартное, то к п. 3,

вид неравенства данного

б) если нестандартное, то к п. 4;

типа?

3) решить в соответствии со стандартом:

Знаю ли я, как решать

а) если решение выполнено, то к п. 8,

неравенство

стандарт-

б) если решение не выполнено, то к п. 4;

ного вида?

4) выбрать способ решения:

Знаю ли я метод интер-

а) если обобщённый метод интервалов, то

валов? Знаю ли я, какие

воспользоваться известным предписанием

преобразования

называ-

(IV.9),

ются

равносильными?

б) если равносильные преобразования, то

Знаю

ли

я,

что

такое

ОДЗ?

найти ОДЗ неравенства и к п. 5

5) выполнить анализ левой и правой частей

Умею

ли

я

выполнять

неравенства и выяснить, какие преобразова-

анализ выражения? Знаю

ния нужно выполнить, чтобы свести неравен-

ли я три группы преобра-

ство к стандартному виду;

зований?

6) выполнить эти преобразования, используя

Полезно

указать

номер

п. 1) – 5):

соответствующего

свой-

ства

при

выполнении

если преобразования выполнены, то к п. 7,

преобразований

в

про-

если преобразования не выполнены, то к п. 1;

цессе

решения

неравен-

ства.

7) полученное неравенство (результат) ре-

Умею ли решать систе-

шить в системе с ОДЗ неравенства;

мы неравенств?

8) для контроля проверить: какое-либо част-

Знаю ли я, как делать

ное решение неравенства; равносильность

проверку

решения

нера-

выполненных преобразований или приме-

венства?

нение обобщённого метода интервалов

9) записать ответ

Знаю ли я, как записать

ответ при решении нера-

венства?

α + β = x

sinx – siny =

α – β = y

sin2α

sinα cosβ

sinx + siny

сos(α - β)

cos(α + β)

tg(α + β)

tg2α

соs2α

tg(α – β)

+

cosx+ cosy

cosα cosβ

sinα-sinβ

cosx – cosy

α + β = x

α – β = y