7. Ознакомление с тождественными преобразованиями выражений. Тождественное преобразование выражений – это замена данного выражения равным ему по значению.
Теоретической основой для преобразования является знание свойств арифметических действий, поэтому работа по преобразованию выражений проводится на этапах по закреплению свойств и их применению в вычислительных приемах.
Например,
(10 + 4) : 2 = 14 : 2 - по смыслу выражения
= 10 : 2 + 4 : 2 - по свойству
47 + 5 = (47 + 3) + 2 - свойство прибавления суммы
к числу
Преобразование выражений дети выполняют и на другой теоретической основе: конкретного смысла действий, знания об изменении результата действия в связи с изменением компонентов.
2 · 6 = 2 · 5 + 2 - конкретный смысл умножения
Также предлагаются задания вида: продолжить запись так, чтобы знак «=» сохранился:
54 – (30 + 2) = 54 – 30 … Слева из 54 вычли сумму чисел 30 и 2, справа из 54 вычли 30. Чтобы справа получилось столько же, надо справа вычесть еще 2.
(20 + 3) · 4 = 20 · 4 …
80 : (4 · 10) = 80 : 10 …
623 + 88 = 623 + 90 …
600 – 180 = 600 – 200 …
Сравнение выражений происходит на основе тех же знаний:
5 · 7 + 5 … 5 · 8 24 : 8 … 24 : 6
4 · 9 – 4 … 4 · 7 17 + 2 …17 + 3
(2 · 8) · 3…2 · 3 + 8 3 · (12 + 16)…3 · 12 + 3 · 15
В 3 (4) классе детей подводим к тому, что если в выражении скобки не влияют на порядок действий, то их можно не ставить.
На основе изученных свойств действий и правил порядка действий учащиеся упражняются в преобразовании выражений со скобками в тождественные им выражения без скобок. В результате чего дети убеждаются, что значение выражения не меняется при изменении порядка действий только в том случае, если при этом применяются свойства действий:
(65 + 30) – 20 (20 + 4) · 3
96 – (46 + 30) (40 + 24) : 3
При преобразовании выражений учащиеся иногда допускают ошибки вида (10 + 4) 3 = 10 3 + 4. Причина подобного рода ошибок тесно связана с неправильным использованием ранее усвоенных знаний (в данном случае с использованием правила прибавления числа к сумме при решении примера, в котором сумму надо умножать на число). Для предупреждения таких ошибок можно предложить учащимся следующие задания:
а) Сравни выражения, записанные в левой части равенств. Чем они похожи, чем отличаются? Объясни, как вычислили их значения:
(10 + 4) + 3 = 10 + (4 + 3) = 10 + 7 = 17
(10 + 4) 3 = 10 3 + 4 3 = 30 + 12 = 42
б) Заполни пропуски и найди результат:
(20 + 3) + 5 = 20 + (3 + )
(20 + 3) 5 = 20 + 3
в) Проверь вычислением, верны ли следующие равенства:
8 3 + 7 3 = (8 + 7) 3
30 + (5 + 2) = 30 + 7
Задание 7. Из учебников М1, М2, М3, М4 выберите примеры на преобразование выражений. Как должны рассуждать учащиеся при выполнении заданий на преобразование выражений?
Выражения с одной и двумя переменными
Буква – это символ для обозначения числа.
Подготовительная работа по введению выражений с переменной проводится с 1 класса. С этой целью в учебники математики включаются:
упражнения, в которых переменная обозначается окошком:
<
3 6 <
+ 2 = 5
Важно, чтобы учащиеся стремились подставить в окошко не одно, а поочередно несколько чисел, проверяя каждый раз, верная ли получается запись:
< 3 (0, 1, 2)
6 < (7, 8, 9, …)
+ 2 = 5 (3)
задачи с пропущенными числами:
В
прятки играли 10 детей. Потом ушли детей.
Сколько детей осталось играть?
Играли |
10 |
10 |
10 |
10 |
Ушли |
|
|
|
|
Стало |
|
|
|
|
В ы в о д: таких задач можно составить много.
При введении выражений с переменной следует идти от числовых выражений к выражению с переменной.
Знакомство с выражением вида 5 + a
С этой целью можно составить задачи одного вида, но с различными числами.
Задача: «На полке стояло 5 книг. На полку поставили еще книг. Сколько книг стало на полке?»
Дети под руководством учителя подбирают числовые данные и решение полученных задач записывают числовыми выражениями (на доске):
5 + 3
5 + 9
5 + 7
5 + 13
5 + 10
Далее проводится анализ выражений (чем похожи, чем отличаются).
Первое слагаемое одинаковое или постоянная величина. В математике про 2-е слагаемое говорят, что оно является переменной величиной. Переменную величину принято обозначать буквами латинского алфавита. Откройте таблицу на стр. 80 М2 (ч. 1).
По предложению детей учитель записывает 5 + а ( сумма 5 и а).
Это выражение с переменной. Что является переменной величиной? (2-е слагаемое).
Какие значения принимала переменная в этих выражениях? Назовите их.
Какие вообще значения может принимать переменная а в этом выражении (любое значение; такое, чтобы можно было вычислить сумму).