§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса

Далее будем излагать без константы , т.к. она нам в ближайших расчётах не понадобится.

здесь , а - число степеней свободы.

В квазиклассике:

Рассмотрим систему из материальных точек и в качестве степеней свободы выберем переменных:

т.е. это обычное трехмерное пространство.

Тогда можем в явном виде записать кинетическую энергию и аргументы потенциальной энергии:

и

здесь время отсутствует, потому что решается стационарная задача.

И функция плотности вероятности и вероятность зависят от всех выше указанных переменных:

(15)

Каждый вектор - т.е. это элементарный объём соответствующего трёхмерного пространства.

Вероятность говорит о событии:

где .

Если имеем вероятность некоторого совместного события:

то вероятность одного из них:

тогда:

(16)

Используем соотношение (16), чтобы, зная вероятность (15), найти плотность распределения импульсов (в данном случае импульса первой точки):

Аналогично (16) получаем:

здесь интегралов

Для функции имеем:

При интегрировании функция даст константу, а выносится за интеграл тогда:

Из условия нормировки найдём константу :

Далее индекс «1» ставить не будем, т.к. если все точки одинаковы, то нет смысла выделять точку (для всех точек распределение будет одинаковое).

и

(Далее Т – температура)

Тогда:

, а

все переменные меняются в пределах от до , тогда получаем:

где

Тогда получаем:

Само распределение имеет вид:

Мы получили распределение вероятностей импульсов или распределение Максвелла. Хотя его ещё называют распределением Больцмана.

Эта вероятность говорит о событии:

здесь три неравенства, т.к. имеется три проекции импульса.

§22. Использование распределения Максвелла для расчёта средних: , , ,

- кинетическая энергия

Посмотрим .

Если рассмотрим , то получим:

Запишем выражение для :

Подставим в наше выражение, тогда получим:

Тогда мы можем записать:

,

Тогда:

Аналогичные результаты имеем для и , тогда:

Легко найти :

здесь - температура в энергетических единицах.

При расчёте в произвольной степени , имеет место другая схема расчёта, а именно:

, где

При нечётном надо учитывать симметричность , т.е. - получается чётная функция. В этом сложность расчёта. Поэтому для расчёта переходят в сферические координаты:

Тогда:

Сделаем замену переменных:

, ,

Тогда получим:

Используем гамма функцию :

Из свойств гамма функции замечаем такие соотношения:

§23. Большое каноническое распределение

Запишем первое начало термодинамики, при учёте, что происходит обмен частицами:

где - число частиц, а - химический потенциал.

П усть между системами 1 и 2 идёт обмен частицами (материальный контакт) и энергетический контакт (теплой обмен).

Для энтропии можем записать:

Ранее мы писали соотношение:

Теперь добавим туда и перепишем его:

Поступая аналогично случаю теплового контакта, мы получаем, что равновесие при тепловом и материальном контакте наступает при

и , т.е.

и

Аналогично получают большое каноническое распределение:

система находится в квантовом состоянии и имеет частиц.

В данном случае система находится в тепловом и материальном контакте.

Еще большое каноническое распределение называют распределением Гиббса с переменным числом частиц.

Здесь статистическая сумма и .

- набор квантовых чисел, характеризующих состояние системы.