- •Оглавление
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§2. Метод статистической физики(элементы теории вероятностей)
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§9. Время релаксации
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§17. Принцип возрастания энтропии
- •§18*. Статистическая сумма и её свойства
- •§19*. Функция распределения вероятностей по энергии и распределение Гаусса
- •§20. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§22. Использование распределения Максвелла для расчёта средних: , , ,
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§24. Термодинамический потенциал Гиббса
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •§27. Ферми и Бозе газы элементарных частиц
- •§28. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при
- •§29. Расчёт энергии электронного газа при
- •§30*. Уравнение состояния идеального электронного газа при . Критерий идеальности электронного газа
- •§31*. Числовые оценки параметров , , , , и
- •Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные вопросы и задачи по курсу “Статистическая физика” (минимум)
- •Решение задач по курсу “Статистическая физика”
- •Гамма-функция Эйлера
§17. Принцип возрастания энтропии
Наиболее вероятным развитием системы является такое, при котором полная производная энтропии больше нуля:
(*)
Этот принцип сформулировал Клаузиус.
Имея этот принцип, можем получить соответствующее распределение.
Условие (*) означает, что если система выведена из состояния равновесия, то она движется к равновесию по этому закону.
Тогда в состоянии равновесия энтропия системы экстремальна (max)
Так как условие имеется условие нормировки, то имеем условный экстремум, а если бы не было условия нормировки, то был бы абсолютный экстремум.
§18*. Статистическая сумма и её свойства
Мы определили каноническое распределение:
,
и - это сумма по состояниям, а не по энергетическим уровням.
Энтропия:
Тогда, учитывая язык термодинамики , получаем:
Введём свободную энергию Гельмгольца:
Тогда
(10)
Получаем, что определяется через :
Тогда можем записать:
Из (10) получаем:
Мы будем часто использовать это равенство (здесь в энергетических единицах).
Используем определение для нахождения . Запишем определение среднего:
Эту сумму можно найти, используя дифференцирование по параметру :
Но ведь , тогда:
Используем равенство (10):
Тогда:
А в духе термодинамики , тогда:
Мы получили связь между энергией и свободной энергией Гельмгольца .
Мы получили связь между энергией и статистической суммой, где
, а
Запишем определение :
Найдём . По определению:
Подставим сюда выражение для и получим:
, здесь сумма – это сумма по состояниям.
Используем дифференцирование по параметру :
Тогда наше выражение примет вид:
По определению , тогда:
Раньше мы получили соотношение
Тогда:
(11)
Покажем, что равенство верно:
Выражение (11) можно связать с :
Ранее мы получили, что:
Тогда:
Теперь, если пишем это равенство для термодинамики, то и
Величина - это теплоёмкость при постоянном объёме (в термодинамике). Это теплоёмкость всей системы.
Тогда:
- линейная аппроксимация
здесь - безразмерная, а - температура в энергетических единицах.
Удельная теплоёмкость – это теплоёмкость в расчёте на единицу массы.
-теплоёмкость в расчёте на одну частицу
Тогда:
Отсюда следует не отрицательность теплоёмкости .
§19*. Функция распределения вероятностей по энергии и распределение Гаусса
Поскольку величина относительного среднеквадратичного отклонения для энергии значительно меньше 1:
то функция распределения этой величины(энергии) описывается узкой функцией с максимумом:
Ш ирина максимума очень мала, т.к. .
Так как максимум резкий, то часто эту функцию распределения аппроксимируют Гауссовым распределением:
Константы и легко находятся.
- из условия нормировки:
Тогда:
Интеграл является табличным.
Окончательно для получаем:
Найдём константу через :
Используем дифференцирование по параметру, где мы обозначим :
Но , тогда:
Очевидно, что , т.к.:
-чётная
-как нечётная функция в симметричных пределах
Имеем тогда для :
(12)
Т.к. , то удобно записывать выражение (12) так:
(13)
где .
Зависимости (12) и (13) разные, это надо помнить.
Тогда можно написать:
Окончательно получаем:
Когда мы писали - то получали центрированную случайную величину.
Перейдём к нормированным функциям, т.е. перейдём от . Обозначим , тогда от функции переходят к :
(14)
здесь для случайной величины :
и
Выражение (14) – это функция Гаусса, в ней всё удобно считать.