Статистика

1. Предмет мат. Статистики. Основные понятия: выборка, генеральная совокупность, статистики. Распределение выборки, выборочные моменты.

Математическая статистика – раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называют сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Мат. статистика позволяет получать обоснованные выводы о параметрах, видах распределений и других свойствах случайных величин по конечной совокупности наблюдений над ними – выборке (набор независимых одинаково распределенных наблюдений). Выборка должна быть репрезентативная (представительная), то есть представлять всю генеральную совокупность при помощи случайного выбора. Закон распределения случайной величины Х называется распределением генеральной совокупности, а случайный вектор (Х₁, …, Х_n) – выборочным вектором. Любую функцию элементов выборки называют статистикой (например, Ɵ(х₁,х₂,…,х_n)). Чтобы выяснить, какие свойства должна иметь статистика Ɵ(х₁,х₂,…,х_n) для того, чтобы ее значения могли бы считаться хорошей в некотором смысле оценкой параметра Ɵ, ее рассматривают как функцию случайного вектора (Х₁, Х₂,…,Х_n), одной из реализаций которого является данная выборка (х₁,х₂,…,х_n). Распределением выборки называется распределение дискретной случайной величины, принимающей значения х₁, х₂, …, х_n с вероятностями 1/n. Соответствующая функция распределения называется эмпирической (выборочной) функцией распределения и обозначается F^*_n (x) = . F^*_n (x)=0 при x<=x⁽¹⁾ и F^*_n (x)=1 при x>x^(n).. Выборочные моменты в математической статистике — это оценка теоретических моментов распределения на основе выборки. Пусть — выборка из распределения вероятности. Тогда

Выборочный момент порядка k — это случайная величина

Центральный выборочный момент порядка k — это случайная величина, где символ обозначает выборочное среднее.

m* (выборочное среднее) =

2. Задача стат. Оценивания. Несмещенность и состоятельность оценок. Эффективность оценок.

Из одной генеральной совокупности можно получить сколько угодно выборок объема n, по выборкам можно получить множество характеристик. И все показатели это есть случайные величины.

1. Оценка должна быть несмещенной.

Θ – параметр

Θ* - оценка Θ по выборке

M [Θ] = Θ

Выборочное среднее является несмещенной оценкой мат. ожидания.

2. Состоятельной

Θ^*_n n ∞ Θ

Чем больше объем выборки, тем точнее результат

3. Эффективность

D [Θ*] n ∞ 0

M1 [Θ*₁] = Θ

M2 [Θ*₂] = Θ

D [Θ*₁]< D [Θ*₂] следовательно Θ*₁ является более эффективным.

3. Метод моментов. Несмещенная оценка дисперсии.

является смещенной состоятельной оценкой дисперсии δ²

Несмещенная состоятельная оценка дисперсии

1. Метод подстановки

α_k = α*_k =

µ_k = µ*_k=

X ~ R (a;b)

2. Метод моментов

X ~ f (x, Θ₁, Θ₂, …, Θ_k)

Θ₁, Θ₂, …, Θ_k - параметры

Система k-уравнений: α₁=M[X]= α*₁

k-моментов

Определение параметров равномерного распределения.

следовательно, метод моментов

следовательно, a+b =