5. Интервальное оценивание. Доверительный интервал для дисперсии.

Доверительный интервал для мат.ожидания m

Известно, что величина (п-1)( )² распределена по закону , которым и нужно воспользоваться для построения доверительного интервала. Этот закон не симметричный, поэтому нужно определять левую и правую границы отдельно. Допустим, что доверительная вероятность равна . Тогда вероятность того, что величина будет лежать правее левой границы доверительного интервала можно взять равной , а вероятность того, что она окажется больше правой границы, будет равна 1- /2. Зададим доверительную вероятность равной 0,9. Тогда . Вероятность «левой границы» будет 0,95 , а правой 0,05. Допустим, что объём выборки равен п=10, следовательно число степеней свободы при вычислении оценки дисперсии равно т=9. Из таблицы - распределения, помещённой в справочнике И.Н. Бронштейна и К.А.Семендяева, находим , . Следовательно 3,32 . После пересчёта окончательно будем иметь 0.72 . Это и есть доверительный интервал для дисперсии.

6. Доверительный интервал для среднего и разности средних.

Доверительные интервалы для среднего задают область вокруг среднего, в которой с заданным уровнем доверия содержится "истинное" среднее популяции. В Основных статистиках вы можете построить доверительные интервалы для любого p-уровня; например, если среднее в вашей выборке равно 23, а нижняя и верхняя границы для p=.05 равны 19 и 27 соответственно, то вы можете заключить, что с 95% вероятностью среднее выборки больше 19 и меньше 27.

Говоря более точно, если вы последовательно вычисляете этот по большому количеству независимых случайных выборок одинакового размера, то 95% этих интервалов будут, действительно, включать в себя истинные значения среднего, т. е. в 95% случаев вы окажетесь правы, утверждая, что истинное значение среднего содержится внутри данного доверительного интервала. Таким образом, выражаясь технически, значение 95% относится к процедуре построения статистического интервала, а не к самому наблюдаемому интервалу.

Если вы установите меньшее значение p-уровня, то интервал будет шире, и увеличится "уверенность" в оценке, и наоборот; как мы знаем из прогнозов погоды, чем "неопределеннее" прогноз (т.е. шире доверительный интервал), тем скорее он сбудется. Заметим, что ширина доверительного интервала зависит от размера выборки и дисперсии наблюдений. Вычисление доверительных интервалов основывается на предположении, что переменная в совокупности нормально распределена. Эта оценка может быть неверной, если это предположение не выполнено, и пока размер выборки мал, например, n меньше 100.

Доверительный интервал для разности средних . Оценка вычисляется: .

< m₁-m₂<

< m₁-m₂<

7. Проверка стат. Гипотез. Классификация гипотез. Критерий. Статистика критерия. Уровень значимости. Критическая область. Ошибки 1-го в 2-го рода.

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки. Статистическая гипотеза Н называется простой, если она однозначно определяет распределение случайной величины Х, в противном случае гипотеза Н называется сложной. Примерами статистических гипотез являются предположения: о виде закона распределения и параметрах двух распределений. Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в выборках, на основании которых производится сравнение, называют нулевой (основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза. Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н0, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов распределения. Наиболее важным из них является нормальное распределение. С ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.