- •Оглавление
- •§1. Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы
- •§2. Метод статистической физики(элементы теории вероятностей)
- •§3. Микро- и макро- параметры системы.
- •§4. Свойство эргодичности системы.
- •§5. Два способа усреднения в статистической физике
- •§6. Понятие ансамбля систем
- •§7. Эргодическая гипотеза
- •§8. Равновесное состояние системы
- •§9. Время релаксации
- •§10. Квазизамкнутость и статистическая независимость подсистем
- •§15. Микроканоническое распределение Гиббса
- •§16. Каноническое распределение Гиббса
- •§17. Принцип возрастания энтропии
- •§18*. Статистическая сумма и её свойства
- •§19*. Функция распределения вероятностей по энергии и распределение Гаусса
- •§20. Квазиклассическое приближение в статистической физике
- •§21*. Распределение Максвелла как следствие канонического распределения Гиббса
- •§22. Использование распределения Максвелла для расчёта средних: , , ,
- •§23. Большое каноническое распределение
- •§24. Термодинамический потенциал Гиббса
- •§25. Распределение Ферми-Дирака
- •§26. Распределение Бозе-Эйнштейна
- •§27. Ферми и Бозе газы элементарных частиц
- •§28. Расчёт импульса Ферми для электронного газа при
- •§29. Расчёт энергии электронного газа при
- •§30*. Уравнение состояния идеального электронного газа при . Критерий идеальности электронного газа
- •§31*. Числовые оценки параметров , , , , и
- •Экзаменационные вопросы по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные задачи по курсу “Статистическая физика”
- •Экзаменационные вопросы и задачи по курсу “Статистическая физика” (минимум)
- •Решение задач по курсу “Статистическая физика”
- •Гамма-функция Эйлера
Экзаменационные вопросы и задачи по курсу “Статистическая физика” (минимум)
Статистическое описание систем с большим числом степеней свободы.
Два способа усреднения в статистической физике.
Эргодическая гипотеза.
Теорема Лиувилля
Микроканоническое распределение Гиббса.
Каноническое распределение Гиббса
Квазиклассическое приближение в статистической физике.
Использование распределение Максвелла для расчета средних:
Распределение Ферми-Дирака.
Распределение Бозе-Эйнштейна.
Расчет импульса Ферми для электронного газа при Т=0.
Задачи:
Задача 1. Вероятность того, что и лежат в интервалах: и дается выражением:
Считая, что областями измерения переменных и является и , найти константу нормировки .
Задача 2. Используя распределение Максвелла, найти:
а) ;
б) ;
в) (наиболее вероятное значение величины скорости);
Задача 3: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии , где .
Задача 4. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести , масса молекулы , температура .
Решение задач по курсу “Статистическая физика”
Задача 1. Математический маятник совершает гармонические колебания по закону
Найти вероятность того, что при случайном измерении отклонения маятника это значение будет лежать в интервале .
Решение. Запишем закон колебания в виде: , где . Тогда нам надо найти вероятность .
Из рисунка видно, что
Обозначим
Как и ожидалось, площадь под кривой равна 1.
Ответ. , где
Дополнение. В общем случае график зависимости может не выражаться через линейные функции. Например:
Тогда необходимо подсчитать время, в течении которого параметр начодится в заданном интервале значений:
Гамма-функция Эйлера
Свойства:
Задача 2. Вероятность того, что и лежат в интервалах: и дается выражением:
Считая, что областями измерения переменных и является и , найти константу нормировки .
Задача 3. Определить вероятность того, что значение величины будет лежать в интервале .
Решение. Условие нормировки:
=1
Переходим к полярным координатам: якобиан перехода:
Первому рисунку отвечает функция распределения ;
второму - ; третьему -
Аналогично:
Ответ:
Задача 4. Найти дисперсию энергии в случае канонического распределения Гиббса.
Решение.
Аналогично:
.
Однако:
(при )
Ответ: ; При .
Задача 5. Найти дисперсию числа частиц в случае большого канонического распределения Гиббса.
Решение.
Видно, что
;
Ответ: ; .
Задача 6. Используя распределение Гиббса: получить различные формы распределения Максвелла:
вероятность того, что скорость любой частицы заданной системы лежит в интервалах , , ;
вероятность того, что абсолютная величина скорости лежит в интервале ;
вероятность того, что кинетическая энергия любой частицы лежит в интервале ;
Решение: 1) ,
Так как , , статистически независимы, то:
Из условия нормировки:
Аналогично: ;
;
Для нахождения перейдем к сферическим координатам:
Найдем из условия нормировки:
Сделаем замену переменных: . Тогда ;
,
где
Таким образом,
2)
,
, где
, где
4)
Ответ: ,где
, где
Задача 7. Используя распределение Максвелла, найти:
а) ;
б) ;
в) (наиболее вероятное значение величины скорости);
Решение: ,
Сделаем замену переменных:
Если - четное :
Если -нечетное :
б) ,
Сделаем замену переменных: ;
Тогда:
в) Ищем экстремум функции :
Ответ: Если -четное :
Если -нечетное :
; ; ;
Задача 8. Используя распределение Максвелла, найти дисперсию скорости и среднее квадратичное отклонение .
Решение:
Задача 9. Найти и наиболее вероятное значение кинетической энергии частицы .
Решение: Условимся решать задачу в СГС (к=1).
, где
Обозначим: . Тогда , где
Найдем как экстремум функции :
Ответ: ;
Задача 10: Используя распределение Максвелла, найти дисперсию кинетической энергии , где .
Решение:
Задача 11. Найти вероятность того, что две частицы имеют абсолютную величину скорости относительного движения в интервале . Найти .
Решение: Условимся решать задачу в СГС (к=1).
Вероятность того, что 1 частица имеет скорость , а вторая – скорость :
Переходя к сферическим координатам:
Из условия нормировки найдем :
Сделаем замену переменных: , ;
Перейдем к новым переменным: - относительная скорость;
- скорость центра масс;
- полная масса;
- приведенная масса;
Учтем, что получим:
;
Ответ: ;
Задача 12. Используя распределение Гиббса, найти для идеального газа, помещенного во внешнее потенциальное силовое поле , вероятность того, что координаты любой частицы будут лежать в интервалах , , .
Решение.
Если (поле тяжести)
Число таких частиц в единице объема: .
Здесь , где интеграл находится в пределах объема.
Ответ.
Задача 13. Найти центр тяжести столба идеального газа в однородном поле тяжести, если ускорение поля тяжести , масса молекулы , температура .
Решение. Воспользуемся предыдущей задачей:
В СИ:
Ответ.