Пакетные вейвлеты.

При обычном алгоритме Малла на каждом шаге «отрезается» половина НЧ-части диапазона сигнала x - рисунок 7 слева. Реализация алгоритма исходит из представления о большей информационности низкочастотной части спектра сигнала.

Рисунок 7 – Дерево алгоритма Малла исходного (слева) и усовершенствованного (справа)

Р. Койфманом и М. Викерхаузером был предложен усовершенствованный алгоритм Малла, дерево которого также представлено на рисунке 5.1 (справа). При усовершенствованном алгоритме операция «расщепления» (splitting) применяется к любой из получающихся ВЧ-компонент. Этой схеме можно дать истолкование применительно к вейвлетам. Дерево рис.5.1 справа соответствует замене вейвлета ψ(t) на два новых вейвлета: и . Новые вейвлеты тоже локализованы в пространстве, но на двое более широком отрезке, чем исходный вейвлет.

Можно нарисовать бинарное дерево разложения, и ему будет соответствовать набор подпространств с базисами, построенными по аналогичному рецепту. Функции, порождающие эти базисы, называются вейвлет-пекетами. Преобразование с помощью вейвлет-пакетов является адаптивным вейвлет-преобразованием, поскольку оно легко приспосабливается к особенностям сигнала и может успешно использоваться для компрессии сигналов и их очистки от шумов.

Достоинством вейвлет-пакетов и адаптивных алгоритмов их реализации является отсутствие необходимости в обучении системы и даже в оценке статистических характеристик сигналов. Все, что нужно - это ввести оценку стоимости вейвлет-коэффициентов, мерой которой может служить энтропия – концентрация числа вейвлет-коэффициентов М, требующихся для описания сигнала с некоторой заданной точностью (или погрешностью).

4.3.2 Примеры применения вейвлетов Очистка сигнала от шума

Для удаления шумов и сжатия сигналов и изображений используется хорошо известный из техники фильтрации приём – удаление высокочастотных составляющих из спектра сигнала. Однако применительно к вейвлетам есть ещё один путь – ограничение уровня детализации коэффициентов.

Часто в линиях связи сигналы подвергаются воздействию помехи типа «Белый шум», которые создают детализирующие коэффициенты с высоким содержанием шумовых компонентов, имеющие большие случайные выбросы значений сигнала. Задав некоторый порог для их уровня, и срезав по уровню детализирующие коэффициенты, можно уменьшить уровень шумов. И при этом можно устанавливать уровень ограничения для каждого коэффициента отдельно, что позволяет строить адаптивные к изменениям сигнала системы очистки сигналов от шума на основе вейвлетов.

Есть несколько способов выбора порога.

На рисунке 7 представлен сигнал смесь полезного сигнала и шума (s(t) = f(t) + σξ(t)), и способы его очистки использованием трёх видов задания порога.

Рисунок 8 – Очистка сигнала от шума с помощью функции wden

Процедура удаления шума состоит в подавлении составляющей шума в сигнале s и восстановление составляющей f и включает в себя три шага:

Разложение. Выбор вейвлета и уровня декомпозиции N. Вейвлет-разложение сигнала s на уровне N.

Детализация. Для каждого уровня от 1 до N выбирается определённый порог и применяется гибкий порог для детализирующих коэффициентов.

Восстановление. Вейвлет-восстановление, основанное на исходных коэффициентах аппроксимации на уровне N, модификация детальных коэффициентов на уровнях от 1 до N.