1.3 Типы фильтров

Выделяют три основных группы частотных фильтров: ФНЧ - фильтры низких частот (пропускание низких, подавление высоких частот во входном сигнале), ФВЧ - фильтры высоких частот (пропускание высоких, подавление низких частот) и ПФ - полосовые фильтры (пропускание определенных частот с подавлением остальных частот сигнала). Среди последних в отдельную группу иногда выделяют РФ - режекторные фильтры, понимая под ними фильтры с подавлением узкой полосы частот во входном сигнале, и СФ – селекторные фильтры, обратные РФ. Схематические частотные характеристики фильтров приведены на рисунке 3.1. Между частотными интервалами пропускания и подавления сигнала существует зона, которая называется переходной.

Рис. 3.1. Типы частотных фильтров.

Практика проектирования нерекурсивных цифровых фильтров базируется, в основном, на синтезе фильтров низких частот. Все другие виды фильтров могут быть получены из фильтров низких частот соответствующим преобразованием. Так, например, фильтр высоких частот может быть получен инверсией фильтра низких частот - вычислением разности между исходным сигналом и результатом его фильтрации низкочастотным НЦФ:

y(k) = s(k) – h(n) s(k-n).

Отсюда, условие инверсии симметричного низкочастотного фильтра в высокочастотный:

h_в(0) = 1-h_н(0), h_в(n) = -h_н(n) при n0.

Применяется также способ получения фильтров высоких частот из низкочастотных фильтров путем реверса частоты в передаточной функции низкочастотного фильтра, т.е. заменой переменной  на переменную ' = (при t = 1). Для симметричных фильтров, содержащих в передаточной функции только косинусные члены аргумента , в результате такой операции будем иметь:

cos n(-) = cos n cos n = (-1)ⁿ cos n.

Последнее означает смену знака всех нечетных гармоник передаточной характеристики фильтра и, соответственно, всех нечетных членов фильтра.

Полосовой фильтр может реализоваться последовательным приме- нением ФНЧ и ФВЧ с соответствующим перекрытием частот пропускания. В математическом представлении это означает после- довательную свертку массива данных с массивами коэффициентов h_н - низкочастотного, и h_в - высокочастотного фильтров:

v_k = h_н(n) _* s(k-n), y_k = h_в(n) _* v_k = h_н(n) _* h_в(n) _* s(k-n).

Так как операция свертки коммутативна, то вместо отдельных массивов коэффициентов ФНЧ и ФВЧ их сверткой может быть определен непосредственно массив коэффициентов полосового фильтра:

h_n = h_н(n) _* h_в(n).

Полосовой режекторный фильтр также может быть получен методом инверсии полосового фильтра. Одночастотные режекторные фильтры обычно выполняются на основе простых рекурсивных цифровых фильтров, более эффективных для данных целей.

1.4 Разностное уравнение

В одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала – отсчетами), задается линейным оператором преобразования TL:

y(kt) = TL{x(kt)}.

Это выражение отображает краткую запись линейного разностного уравнения:

a_m y(kt-mt) = b_n x(kt-nt), (4.1)

где k = 0,1,2,..- порядковый номер отсчетов, t - интервал дискретизации сигнала, a_m и b_n - вещественные или, в общем случае, комплексные коэффициенты. Положим a₀ = 1, что всегда может быть выполнено соответствующей нормировкой уравнения (4.1), и, принимая в дальнейшем t = 1, приведем его к виду:

y(k) = b_n x(k-n) – a_m y(k-m). (4.2)

Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов). Если хотя бы один из коэффициентов a_m или b_n зависит от переменной k, то фильтр называется параметрическим, т.е. с переменными параметрами. Ниже мы будем рассматривать фильтры с постоянными коэффициентами (инвариантными по аргументу).