Ортогональные вейвлеты

В радиотехнических системах очень часто необходимы ортогональные функции. В ортонормированном пространстве есть много классических ортогональных базисов – Эрмита, Лаггера и др. Среди вейвлетов важную роль играют ортогональные и биортогональные вейвлеты, отличающиеся рядом выгодных качеств. Главные среди них – возможность восстановления (реконструкции) не только локальных особенностей произвольного сигнала s(t), но и сигнала в целом, а также возможность осуществления быстрых вейвлет-преобразований.

Ортогональные вейвлеты, как отмечалось выше, характеризуются двумя функциями – вейвлет-функцией (psi) и масштабирующей функцией (phi).

Один из первых известных ортогональных вейвлетов – вейвлет Хаара. Функция phi у него имеет значение 1 в интервале [0,1] т 0 за пределами этого интервала. Функция psi имеет вид прямоугольных импульсов – меандра (значения 1 в интервале [1,0.5] и -1 в интервале [0.5,1]). Вейвлеты Хаара хорошо локализованы в пространстве, но не очень хорошо локализованы в частотной области, поскольку меандр имеет широкий спектр частот (теоретически бесконечный).

Вейвлеты Добеши (dbN) ортогональные с компактным носителем, при этом они сосредоточенны на конечном интервале времени. Они имеют хорошо локализованный спектр в частотной области. Но они являются несимметричными и при этом реализуются итерационными формулами.

Примером является вейвлет Добеши 8-го порядка, его psi представлена на рис. 6, а phi функция на рисунке 7.

Рисунок 6 – Функция psi вейвлета Добеши8.

Рисунок 6 – Функция phi вейвлета Добеши8.

Также к ортогональными вейвлетами с компактным носителем относятся вейвлеты Симлета (symN) и Коифлета (coifN). У них имеется функция phi, и обе функции phi и psi имеют компактный носитель и определенное число моментов исчезновения. Посредством их можно проводить непрерывные вейвлет-преобразования, а также дискретные преобразования с применением быстрого вейвлет-преобразования. Минусом их является недостаточная периодичность.

Отдельно идут биортогональные парные вейвлеты с компактным носителем. Это B-сплайновые биортогональные вейвлеты (biorNr.Nd и rbioNr.Nd). Они имеют phi функцию, и также обе функции phi и psi имеют компактный носитель. Для реконструкции могут иметь периодичность.

Дискретное вейвлет-преобразование непрерывных сигналов

Теорема Котельникова позволяет осуществлять полное восстановление временного сигнала с ограниченным спектром по дискретному набору отсчётов. Подобных результатов можно достигнуть и в области вейвлет-преобразований.

Непрерывное вейвлет-преобразование требует больших вычислительных затрат при его проведении. Поэтому для практического его применения необходима дискретизация значений a и b. Обычно σ = 2, а β = 1, тогда a = 2^j и b = k 2^j (j,kZ).

При дискретных значениях a и b вейвлет-функция может быть представлена в виде:

Ψ_j,k= . (5)

Поэтому прямое дискретное вейвлет-преобразование (ПДВП) сводится к вычислению коэффициентов C(a,b) по формуле (3), но с подстановкой дискретных a и b, тогда формула приобретёт вид:

C(j,k) = d_j,k = . (6)

Здесь C(j,k) = d_j,k – детализирующие коэффициенты для вейвлет-декомпозиции сигнала уровня k. Эти коэффициенты в этом случае дискретны.

Обратное дискретное вейвлет-преобразование (ОДВП) для непрерывных сигналов задаётся формулой:

(7,а)

Часто осуществляют нормировку базовой функции в частотной области C_ψ = 1. При этом окончательная формула реконструкции сигнала записывается в виде:

(7,б)

Теоретически доказано, что для ортогональных вейвлетов возможно точное восстановление сигнала, именуемое реставрацией, после прямого и инверсного дискретного вейвлет-преобразований с использованием дополнительной аппроксимации сигнала с помощью phi-функции. В ином случае восстановление даёт близкий к исходному сигналу s(t) приближённый сигнал, т.е. минимум среднеквадратической погрешности восстановления.