Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) основывается на представлении сигнала на основе суммирования его грубого представления с детализирующими локальными представлениями сигнала в его разных местах. Для этого используют ортогональные вейвлеты, создавая их на представлении пространства V в виде системы вложенных подпространств V_j, отличающихся друг от друга только перемасштабированием независимой переменной.

Этот вид анализа базируется на следующих исходных предпосылках:

● пространство сигналов V может быть разбито на иерархически вложенные подпространства V_j , которые не пересекаются и объединение которых дает в пределе L²(R);

● для любой функции s(t)V_j ее сжатая версия принадлежит пространству V_j-1 ;

● существует такая функция φ(x)V₀ , для которой ее сдвиги φ_0,j= φ(t-k) при k Z образуют ортонормированный базис пространства V₀.

Так как функции φ_0,k(t) образуют ортонормированный базис пространства V₀, то функции

(8)

образуют ортонормированный базис пространства V_j.

Эти функции называются масштабирующими, потому что они создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. При этом сигнал s(t) может быть представлен множеством последовательных приближений s_j(t) в субпространствах V_j.

Переменная j называется масштабным коэффициентом. Поскольку дерево декомпозиции сигнала при вейвлет-преобразовании принято отсчитывать вниз, значит сигнал s(t) есть предел аппроксимации s_j(t) )V_j при j→-∞, т.е.

s(t)= .

При больших j получаем грубые приближения сигнала, а при малых – точные. Приближение сигнала соответствует итерационной формуле:

,

причем

,

где h_k - некоторая последовательность. Сумма приближенной и детализирующей компонент дает исходный сигнал с тем или иным приближением.

Кратномасштабное представление лежит в основе многих применений вейвлет-анализа и вейвлет-преобразований. Например, применительно к сигналам изображений, оно означает представление изображений последовательностью образов с разной степенью их детализаций. При этом для создания грубого образа сигнала служит функция φ(t), а уточнение этого образа достигается с помощью вейвлет-функций или вейвлет-коэффициентов.

Первым типом вейвлета, на котором была теоретически доказана возможность кратномасштабного анализа (КМА) был вейвлет Хаара. На его примере было показано, что в ходе прямого и обратного дискретного вейвлет-преобразования возможно полное восстановление сигнала, если для целых k существуют такие коэффициенты {h_k}, что

.

Это функциональное уравнение является одним из важнейших в теории вейвлет-анализа, и называется уравнением масштабирования или уравнением уточнения. Для функции Хаара можно найти, что коэффициенты .

Добеши создала знаменитую серию вейвлетов, у которой, вейвлет db2 в сущности, является вейвлетом Хаара. Для получения вейвлета db4 Добеши использовала множество коэффициентов W={ } и потребовала, чтобы линейная комбинация с векторами [1,1,1,1] и [1,2,3,4] была равна 0, т.е.

и .

Используя эти соотношения в качестве условий нормирования и ортогональности, можно найти коэффициенты вейвлета Добеши db4:

.

Уравнение масштабирования может иметь несколько иные формы записи, оно может быть задано в виде (x=t для временных зависимостей):

причем (9)

Вместо коэффициентов h_k здесь использованы коэффициенты ω_n и более удобная для большинства вейвлетов нормировка.

Дискретизация параметра a=2^j означает возможность управления разрешением сигнала в ходе вейвлет-преобразований. Значения масштаба a и разрешения 1/a представлены ниже в таблице 1.

Таблица 1 – Значения масштаба а и разрешения 1/а.

J	10	9	…	2	1	0	-1	-2	-3
Масштаб	1024	512	…	4	2	1	1/2	1/4	1/8
Разрешение	1/210	1/29	…	1/4	1/2		2	4	8

Частотный подход и быстрое вейвлет-преобразование

Частотный подход к вейвлет-преобразованиям

Триумфальный прогресс использования вейвлетов в огромном спектре приложений, связан, в первую очередь, с «быстрыми алгоритмами» (быстрое вейвлет-преобразование – БВП), которые в свою очередь получаются в результате тщательного выбора первичного вейвлета.

Для работы по обработке и представлению реальных сигналов необходимо использовать аппарат частотной фильтрации и методы быстрого вейвлет-преобразования. Они основаны на пирамидальном алгоритме Малла и прореживании спектра по частоте.

Частотная область вейвлетов может быть разбита на две составляющие – низкочастотную и высокочастотную. Их частота раздела равна половине частоты дискретизации сигнала. Для их разделения достаточно использовать два фильтра – низкочастотны Lo и высокочастотный Hi, ко входам которых подключается сигнал s. Фильтр Lo дает частотный образ для аппроксимации (грубого приближения) сигнала, фильтр Hi – для его детализации. Вейвлет коэффициенты соответствуют коэффициентам передаточной характеристики этих фильтров, т.е. коэффициенты фильтров Lo и Hi есть детализирующие коэффициенты вейвлет-декомпозиции сигналов и их коэффициенты аппроксимации.

Поскольку фильтры передают только половину всех частотных компонентов сигнала, то не все попавшие в полосу прозрачности компоненты могут быть удалены. Это называется операцией децимации вдвое и обозначается как ↓2. Если сложить полученные на выходах фильтров сигналы, то получится исходный сигнал, т.е. имеет место полная реконструкция сигнала на начальном уровне реконструкции.

Однако L₀ фильтр можно разложить на два фильтра и подвергнуть спектры этих новых фильтров операции прореживания по частоте – децимации. Это означает изменение уровня реконструкции. Т.е. может быть сформирована система вейвлет-фильтров, реализующих операцию декомпозиции сигнала того или иного уровня.

Подобные операции сокращают спектр соответствующих компонентов сигнала, что лежит в основе приближенного представления сигнала на разных уровнях декомпозиции сигнала. Такое представление необходимо для реализации операций сжатия сигналов и их отчистки от шума. Операция последовательной разбивки L₀ фильтров и постепенного огрубления сигнала была предложена Маллом.

Квадратурная фильтрация

Каждый ортогональный вейвлет имеет свой Фурье-образ ψ(ω), который можно представить реализацией двух фильтров – низкочастотного H(ω) и согласованного с ним высокочастотного фильтра:

G(ω) = . (10)

При этом Фурье-образ вейвлета имеет вид:

ψ(2ω) = G(ω)φ(ω). (11)

Обычно фильтры имеют тип ФНЧ с импульсной характеристикой класса КИХ.

Кратномасштабный анализ основан на двух хорошо известных методах обработки сигналов, заимствованных из теории фильтрации сигналов:

● разложение сигнала по поддиапазонам при помощи квадратурных зеркальных фильтров;

● пирамидальное представление.

Первый метод возник из потребностей обработки звуковых сигналов, а второй - из обработки сигналов изображения.

Пусть имеется некий обобщенный сигнал в виде последовательности чисел . Для сглаживания сигнала, подавления шума часто используют фильтры, базирующиеся на операции свертки:

. (12)

Сигнал получается «локальным усреднением» сигнала x с помощью набора «весов» . Используя понятия частотного анализа можно записать :

, (13)

или что принято в анализе цифровых сигналов, в терминах z-преобразования

. (14)

Транспонированный фильтр h* состоит из тех же коэффициентов, что и фильтр h, но переставленных в обратном порядке. В частотной области транспонированный фильтр записывается как . Коэффициенты всех сигналов и фильтров предполагаются вещественными. Величина характеризует распределение энергии сигнала по частотам .

Для поставленной задачи находим два фильтра, которые позволили бы разложить сигнал на два частотных компонента – высокочастотны и низкочастотный , их проредить, затем с помощью транспонированных фильтров, точно восстановить по этим данным исходный сигнал. В случае ограниченного спектра сигнала разумно сделать полосы пропускания фильтров равными половине общей полосы частот спектра сигнала, т.е. граничная частота фильтров должна быть равна половине частоты квантования сигналов.

Пусть теперь вектор Y(z) перед кодированием прореживается вдвое, а перед восстановлением исходного сигнала доводится до исходной длины вставкой нулей между соседними значениями его элементов. При этом z-преобразование из Y(z) превращается в (Y(z)+Y(-z))/2. Получим z-преобразования компонент перед восстановлением:

z-преобразования транспонированных фильтров имеют вид и .Сигнал восстановится с их помощью точно, если :

Тогда условия точного восстановления (perfect reconstruction, PR) будут иметь вид:

В матричной форме они записываются:

Подставим , получим условия на ДПФ искомых фильтров:

(15)

(16)

Если

(17)

то

(18)

видно, что (15) выполняется.

Фильтры H и G (или L), удовлетворяющие (15) называются квадратурными зеркальными фильтрами – КЗФ. Понятие о них широко используется и в технике вейвлет-преобразований и составляет основу быстрого вейвлет-преобразования (БВП).

Для ряда типов вейвлетов частотное представление открывает возможности использования быстрого вейвлет-преобразования, производя деления спектра на две составляющие и прореживания их по частоте. Его последовательное применение и есть, пирамидальный алгоритм Малла, дающий приближения сигнала с уменьшающейся по мере удаления от вершины дерева детальностью представления сигнала.

Быстрое вейвлет-преобразование и алгоритм Малла

Для ортогональных вейвлетов существует быстрое вейвлет-преобразование или алгоритм Малла. Оно реализует основанный на фильтрации итерационный алгоритм, причём число итераций N может быть произвольным.

Классическая схема Малла предполагает рекурсивное применение процедуры реконструкции сигнала в частотной области. Коэффициенты фильтров при этом соответствуют приведённым ниже обозначениям:

Таблица 2 – Коэффициенты фильтров.

Тип фильтра	НЧ	ВЧ
Декомпозиция	Lo_D	Hi_D
Реконструкция	Lo_R	Hi_R

Первый шаг алгоритма Малла поясняется диаграммой вейвлет-декомпозиции сигнала:

→ Lo_D→↓2→cA₁ (коэффициенты аппроксимации уровня 1)

s―↕

→ Hi_D→↓2→cD₁ (детализирующие коэффициенты уровня 1)

Сигнал s подается на фильтры декомпозиции низких и высоких частот, после чего с помощью операции децимации ↓2 (уменьшения числа частотных составляющих вдвое) можно получить коэффициенты аппроксимации на входе фильтра низких частот и детализирующие коэффициенты на выходе фильтра высоких частот. Далее алгоритм может быть продолжен по схеме:

→ Lo_D→↓2→cA_j+1 (коэффициенты аппроксимации уровня j+1)

cA_j―↕

→ Hi_D→↓2→cD_j+1 (детализирующие коэфф. уровня j+1)

В результате мы получим полный набор аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов, вплоть до уровня декомпозиции j+1. Это и есть вейвлет-декомпозиция сигнала. По этому набору коэффициентов можно построить вейвлет-спектрограмму сигнала, например для оценки его особенностей.

Переходим к диаграмме быстрой вейвлет-реконструкции. Используя операцию, обратную децимации, ↑2 (увеличение числа вдвое составляющих путем добавления нулевых компонентов вперемежку с имеющимися компонентами), можно получит диаграмму понижения уровня коэффициентов аппроксимации:

cA_j →↓2→ Lo_R→

↕→ функция wkeep → cA_j-1

cD_j→↑2→ Hi_R→

Это означает постепенное приближение к исходному сигналу. В целом несколько упрощенно (|i| указывает на итерационный характер вычислений), процесс декомпозиции-реконструкции можно представить общей диаграммой вейвлет-преобразований:

→ Lo_D→↓2→cA→ →cA→↑2→ Lo_R→

s―↕ |i| (+)→se

→ Hi_D→↓2→cD→ →cD→↑2 → Hi_R →

В результате этого процесса исходный сигнал s раскладывается на вейвлет-компоненты вплоть до заданного уровня декомпозиции, после чего в ходе реконструкции, восстанавливается до приближенного сигнала se. Степень приближения зависит от уровня декомпозиции и реконструкции. Нулевой уровень соответствует точному восстановлению сигнала (se = s).