4.3 Вейвлет-преобразования

В последнее время в направлении обработки сигналов понадобились новые методы для представления, сжатия, хранения всех видов сигналов, взамен старым, которые не давали решения по ряду проблем. На замену классическим методам обработки сигналов на основе преобразований Фурье получили распространение вейвлет-преобразования.

Вейвлеты (wavelets) – это обобщенное название временных функций, имеющих вид волновых пакетов той или иной формы (в том числе фрактальной), локализованных по оси независимой переменной (t или x) и способных к сдвигу по ней и масштабированию (сжатию/растяжению). Вейвлеты создаются с помощью специальных базовых функций – прототипов, задающих их вид и свойства. В сущности, вейвлеты – это новый базис приближения функций и сигналов произвольной формы.

Набор вейвлетов, в их временном или частотном представлении, может приближать сложный сигнал или изображение, причем идеально точно или с некоторой погрешностью. Вейвлеты имеют явные преимущества перед рядами Фурье в представлении локальных особенностей функций.

Благодаря прекрасному представлению локальных особенностей сигналов, принципиально отсутствующих у рядов Фурье, и множеству видов вейвлеты нашли практическое применение для анализа тонких особенностей сложных сигналов и изображений, для их сжатия и очистки от шума. Они уже получили применение в аудио формате MPEG 4, в сжатии видеоинформации по записи изображений – JPEG 2000. Технологию вейвлет-компресии сигналов используют в новых графических программах. Они могут найти перспективное развитие в передачи сжатых изображений по каналам Интернета.

4.3.1 Вейвлеты, вейвлет-преобразования, виды и свойства Вейвлет анализ и прямое вейвлет-преобразование

Как уже говорилось, вейвлеты – это новые системы базисных функций, используемые для представления, фильтрации, сжатия, хранения и т.д. любого из «сигналов»

В случае, если n = 1, переменная t представляет время и мы имеем дело с временными сигналами . Случай n = 2 относится к обработке изображений.

Основная модель вейвлетного преобразования действует на комплексно-значных временных сигналах , также как преобразование Фурье. Для начала выбирают анализирующий вейвлет (материнский вейвлет) . На рис.2 представлен ψ, имеющий компактный носитель [0,L]. Растянутые и сдвинутые копии материнского вейвлета ψ называют вейвлетными функциями или просто вейвлетами.

Рисунок 2 – График вейвлета функции Гаусса 1-го порядка.

Также примером является вейвлет «мексиканская шляпа» на рисунке 3, определённый и вычисленный аналитически, математически записывается как:

Но он не обладает свойствами ортогональности.

Рисунок 3 – График вейвлета «мексиканская шляпа».

Вейвлеты (wavelets) – это обобщенное название временных функций, имеющих вид волновых пакетов той или иной формы (в том числе фрактальной), локализованных по оси независимой переменной (t или x) и способных к сдвигу по ней и масштабированию (сжатию/растяжению).

Тем самым, набором вейвлетов, в их временном или частотном представлении можно представить любой сложности сигнал очень точно, с небольшой погрешностью, но более точно, чем преобразованием Фурье.

Вейвлеты занимают промежуточное положение между крайними случаями (синусоидальной и импульсной функциями) и образуют некоторый набор функций, удовлетворяющих сформулированным далее условиям и основанных на использовании представления сигнала в виде:

(1)

где s(t) – представление сигнала в виде взвешенной суммы простых составляющих – базисных функций ψ_k (t), помноженных на коэффициенты С_К.

Поскольку базисные функции ψ_k(t) зафиксированы как функции определенного типа, только коэффициенты С_k содержат информацию о конкретном сигнале. Таким образом, можно говорить о возможности представления произвольных сигналов на основе рядов с различными базисными функциями.

Базисными функциями вейвлетов могут быть различные функции, в том числе, напоминающие модулированные импульсами синусоиды, функции со скачками уровня и т.д. Это обеспечивает легкое представление сигналов с локальными скачками и разрывами наборами вейвлетов того или иного типов. Почти все вейвлеты не имеют аналитического представления в виде одной формулы и могут задаваться итерационными выражениями.

Вейвлеты характеризуются своим временным и частотным образами. Временной образ определяется psi-функцией времени ψ(t). Частотный образ задаётся её Фурье-образом (t) , который задаёт огибающую спектра вейвлета. Ширина вейвлета обратно зависит от его частоты, если сузить вейвлет, то его «средняя частота» увеличивается, спектр сдвигается и расширяется. Это почти линейный процесс.

Становиться понятно, что с помощью вейвлетов сигнал можно представить совокупностью волновых пакетов (вейвлетов), образованных на основе некоторой исходной (базовой) функции ψ₀(t). Это и есть вейвлет-анализ сигналов (рисунок 4).

Рисунок 4

Прямое вейвлет-преобразование (ПВП) это разложение произвольного сигнала на принципиально новый базис в виде совокупности волновых пакетов (вейвлетов), которые характеризуются четырьмя свойствами:

• имеют вид коротких, локализованных во времени (пространстве), волновых пакетов с нулевым значением интеграла;

• обладают возможностью сдвига во времени;

• способны к масштабированию (сжатию/растяжению);

• имеют ограниченный (или локальный) частотный спектр.

Это базис может быть ортогональным, а может и не быть. Ортогональные базисы на порядок облегчают анализ.

Идея вейвлет представления заключается в разбивке приближения к сигналу на две составляющие – грубую (аппроксимирующую) и утончённую (детализирующую) – с последующим их дробление с целью изменения уровня декомпозиции сигнала (число используемых при разложении сигнала вейвлетов).