- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Неопределенный и определенный интегралы
- •Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета
- •1 Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •2.3 Метод интегрирования подстановкой
- •2.4 Интегрирование по частям
- •2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •2.5.1 Рассмотрим интеграл
- •2.5.2 Рассмотрим интеграл вида
- •2.5.3 Рассмотрим интеграл вида
- •2.6 Интегрирование рациональных функций
- •2.6.1 Дробно-рациональная функция
- •2.6.2 Правильные рациональные дроби
- •2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму
- •2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные
- •2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть
- •2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные
- •2.6.8 Общий случай
- •2.7 Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •2.7.3 Интегралы вида
- •2.7.4 Интегралы вида
- •2.7.5 Интегралы вида , ,
- •2.8 Интегрирование иррациональных функций
- •2.8.2 Интеграл вида
- •3 Определенный интеграл
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- •3.3 Формула Ньютона–Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •3.8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •Приложения определенного интеграла
- •3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •3.9.2 Площадь криволинейного сектора
- •3.9.3 Вычисление длины дуги кривой
- •4 Вопросы для самопроверки
- •5 Типовые задания
- •Литература
- •Содержание Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета………………………………...3
- •Неопределенный и определенный интегралы
2.8 Интегрирование иррациональных функций
2.8.1 Интеграл вида , где – рациональная функция
Подынтегральная функция с помощью подстановки , , где – наименьший общий знаменатель дробей , преобразуется в рациональную функцию от .
Пример 33. Найти интеграл .
Решение. Сделаем подстановку , где 6 – наименьший общий знаменатель дробей , ; найдем . Тогда
.
Под знаком интеграла – неправильная рациональная дробь. Путем деления числителя на знаменатель выделим целую часть и представим дробь в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби:
Итак, .
Тогда
2.8.2 Интеграл вида
Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где – наименьший общий знаменатель дробей . Из данного равенства следует выразить и найти .
Пример 34. Найти интеграл .
Решение. Сделаем подстановку . Выразим из данного равенства :
, ,
, .
Найдем :
Подставим в интеграл и получим
к данному интегралу применяем метод интегрирования по частям: , тогда
вернемся к старой переменной
2.8.3 Интегралы вида , , ,
В данных интегралах используют тригонометрические подстановки.
2.8.3.1 ,
, ,
.
Пример 35. Найти интеграл .
Решение. Сделаем подстановку , , , получим
2.8.3.2 ,
, , , .
Пример 36. Найти интеграл .
Решение. Сделаем подстановку , , , . Тогда
.
2.8.3.3 ,
, , , .
Пример 37. Найти интеграл .
Решение. Сделаем подстановку , , , , получим
3 Определенный интеграл
3.1 Понятие определенного интеграла
Пусть на отрезке задана непрерывная функция (рисунок 1).
|
Рисунок 1 – График функции
|
Разобьем отрезок произвольным образом на частей точками , , , …, , причем . Длину частичного отрезка разбиения обозначим через , то есть . В каждом частичном отрезке произвольным образом выберем точку и найдем значение функции в каждой точке:
, , …, , …, .
Составим сумму
(15)
Данная сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке .
Пусть – длина наибольшего частичного отрезка разбиения: . Найдем предел интегральной суммы при :
.
Определение 7. Если интегральная сумма имеет предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называют определенным интегралом от функции на отрезке и обозначают .
Таким образом,
, (16)
где – нижний предел интегрирования;
– верхний предел интегрирования;
– подынтегральная функция;
– подынтегральное выражение;
– переменная интегрирования;
– отрезок интегрирования.
Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
3.2 Геометрический смысл определенного интеграла
Определение 8. Фигура, ограниченная сверху графиком неотри-цательной функции , снизу – осью , справа и слева – прямыми и , называется криволинейной трапецией (рисунок 2).
|
Рисунок 2 – Геометрическая иллюстрация определенного интеграла |
Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
. (17)
В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.