- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Неопределенный и определенный интегралы
- •Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета
- •1 Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •2.3 Метод интегрирования подстановкой
- •2.4 Интегрирование по частям
- •2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •2.5.1 Рассмотрим интеграл
- •2.5.2 Рассмотрим интеграл вида
- •2.5.3 Рассмотрим интеграл вида
- •2.6 Интегрирование рациональных функций
- •2.6.1 Дробно-рациональная функция
- •2.6.2 Правильные рациональные дроби
- •2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму
- •2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные
- •2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть
- •2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные
- •2.6.8 Общий случай
- •2.7 Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •2.7.3 Интегралы вида
- •2.7.4 Интегралы вида
- •2.7.5 Интегралы вида , ,
- •2.8 Интегрирование иррациональных функций
- •2.8.2 Интеграл вида
- •3 Определенный интеграл
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- •3.3 Формула Ньютона–Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •3.8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •Приложения определенного интеграла
- •3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •3.9.2 Площадь криволинейного сектора
- •3.9.3 Вычисление длины дуги кривой
- •4 Вопросы для самопроверки
- •5 Типовые задания
- •Литература
- •Содержание Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета………………………………...3
- •Неопределенный и определенный интегралы
3.9.2 Площадь криволинейного сектора
Область, ограниченная непрерывной линией и двумя лучами и , где и – полярные координаты, называется криволинейным сектором (рисунок 13).
|
Рисунок 13 – Криволинейный сектор
|
Площадь криволинейного сектора находится по формуле
. (35)
Пример 52. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехлепест-ковой розой» (рисунок 14).
|
Рисунок 14 – «Трехлепестковая роза»
|
Решение. Найдем границы изменения величины : если , то , тогда , , а ; если , то или , тогда , , а .
Пусть , тогда значение изменяется от 0 до . Вычислим площадь половины одного лепестка «розы» и умножим ее на 6.
(кв.ед.).
3.9.3 Вычисление длины дуги кривой
3.9.3.1 Пусть кривая на отрезке задана уравнением , тогда дифференциал дуги кривой . Интегрируя обе части равенства, получим формулу для нахождения длины дуги кривой:
. (36)
3.9.3.2 Если кривая задана параметрическими уравнениями , то дифференциал дуги кривой , тогда длина дуги кривой находится по формуле
. (37)
Аналогично для пространственной кривой, заданной параметрически длина дуги кривой равна
. (38)
3.9.3.3 Если кривая задана в полярной системе координат , , то дифференциал дуги кривой , а длина дуги находится по формуле
. (39)
Пример 53. Найти длину дуги кривой , заключенной между точками и .
Решение. Кривая задана в прямоугольной декартовой системе координат в явном виде. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производную :
.
Пример 54. Найти длину дуги окружности , заключенной между точками и .
Решение. Кривая задана параметрически. Для вычисления ее длины воспользуемся формулой , предварительно вычислив производные и :
, .
.
Пример 55. Найти длину дуги кривой , заключенной между лучами и .
Решение. Кривая задана в полярной системе координат, поэтому длина дуги вычисляется по формуле
.
Найдем . Подставляя в формулу, получим
4 Вопросы для самопроверки
Определение первообразной функции. Геометрический смысл совокупности первообразных функций.
Определение неопределенного интеграла.
Основные интегралы.
Свойства неопределенного интеграла.
Основные методы интегрирования:
– метод непосредственного интегрирования;
– метод подведения под знак дифференциала;
– метод интегрирования подстановкой;
– метод интегрирования по частям;
– метод интегрирования дробей, содержащих квадратный трех-член в знаменателе;
– интегрирование простейших рациональных дробей I–IV типов;
– разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби; интегрирование рациональной дроби;
– интегрирование иррациональных функций;
– интегрирование тригонометрических функций.
Определение определенного интеграла, его геометрический и физический смысл.
Свойства определенного интеграла.
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона–Лей-бница.
Формула замены переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Определение несобственного интеграла первого рода.
Определение несобственного интеграла второго рода.
Вычисление площади плоской фигуры.
Вычисление длины дуги кривой.
Вычисление объема тела вращения.
Вычисление площади поверхности вращения.