- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Неопределенный и определенный интегралы
- •Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета
- •1 Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •2.3 Метод интегрирования подстановкой
- •2.4 Интегрирование по частям
- •2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •2.5.1 Рассмотрим интеграл
- •2.5.2 Рассмотрим интеграл вида
- •2.5.3 Рассмотрим интеграл вида
- •2.6 Интегрирование рациональных функций
- •2.6.1 Дробно-рациональная функция
- •2.6.2 Правильные рациональные дроби
- •2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму
- •2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные
- •2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть
- •2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные
- •2.6.8 Общий случай
- •2.7 Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •2.7.3 Интегралы вида
- •2.7.4 Интегралы вида
- •2.7.5 Интегралы вида , ,
- •2.8 Интегрирование иррациональных функций
- •2.8.2 Интеграл вида
- •3 Определенный интеграл
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- •3.3 Формула Ньютона–Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •3.8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •Приложения определенного интеграла
- •3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •3.9.2 Площадь криволинейного сектора
- •3.9.3 Вычисление длины дуги кривой
- •4 Вопросы для самопроверки
- •5 Типовые задания
- •Литература
- •Содержание Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета………………………………...3
- •Неопределенный и определенный интегралы
2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
К данному методу интегрирования относятся интегралы вида:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
2.5.1 Рассмотрим интеграл
Преобразуем квадратный трехчлен, выделив полный квадрат:
где .
Таким образом, интеграл принимает вид
.
Сделаем подстановку , . Тогда получим . Это уже табличные интегралы (19 и 20 в п. 1.4).
Пример 15. Найти интеграл .
Решение.
, , .
2.5.2 Рассмотрим интеграл вида
Преобразуем подынтегральную функцию: выделим в числителе производную квадратного трехчлена , получим
разобьем на сумму двух интегралов
Пример 16. Найти интеграл .
Решение. Применим указанный прием: выделим в числителе производную квадратного трехчлена и преобразуем числитель:
2.5.3 Рассмотрим интеграл вида
К данному интегралу применим преобразования, рассмотренные в пункте 2.5.1, тем самым сведем интеграл к табличному.
Сделаем подстановку: , и получим интегралы вида:
если , то ;
если , то ,
где .
2.5.4 Интеграл вида находится аналогично интегралу вида .
Пример 17. Найти интеграл .
Решение. Выделим в числителе производную квадратного трех-члена , тогда .
Преобразуем подынтегральную функцию
2.6 Интегрирование рациональных функций
Определение 3. Функция вида
,
где – натуральное число, – постоянные коэффициенты, назы-вается многочленом или целой рациональной функцией. Число – степень многочлена.
Определение 4. Корнем многочлена называется такое значение , при котором многочлен обращается в нуль, то есть .
Теорема 2. Если – корень многочлена , то многочлен делится без остатка на , то есть
,
где – многочлен степени .
Теорема 3 (основная теорема алгебры). Всякий многочлен -й степени имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема 4. Всякий многочлен можно представить в виде
,
где , , …, – корни многочлена;
– коэффициент многочлена при .
Теорема 5. Два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Теорема 6. Если многочлен с действительными коэффици-ентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень .
Теорема 7. Всякий многочлен с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля, с действительными коэффициентами, то есть
При этом . Все квадрат-ные трехчлены не имеют действительных корней. Например, разложим на множители многочлены:
;
;
.
2.6.1 Дробно-рациональная функция
Дробно-рациональной функцией называется функция, равная отношению двух многочленов, то есть
,
где – многочлен степени ;
– многочлен степени .
Определение 5. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.
2.6.2 Правильные рациональные дроби
I) ;
II) ;
III) ;
IV) .
Определение 6. Дроби вида I–IV называются простейшими рациональными дробями. Квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей вида I–IV не составляет большой трудности.
I) .
II)
III) . В числителе выделим производную квадрат-ного трехчлена и преобразуем числитель:
, так как квадратный трехчлен не имеет действительных корней
.
IV) в числителе выделим производную квад-ратного трехчлена , тогда
во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
. Введем новую переменную , обозначим
.
Интеграл берем по рекуррентной формуле
.
Пример 18. Найти интеграл .
Решение.
.
Пример 19. Найти интеграл .
Решение.
Теорема 8. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
,
можно представить и притом единственным образом в виде суммы простейших дробей:
где , , …, , , …, , , …, , , … – некоторые действительные коэффициенты.
1. Линейным множителям будут соответствовать простей-шие дроби I-II типа.
2. Квадратным множителям будут соответствовать простей-шие дроби III-IV типа.
3. Число простейших дробей, соответствующих линейному или квадратному множителю , равно степени, в которой этот множи-тель входит в разложение .