- •Бийский технологический институт (филиал)
- •Неопределенный и определенный интегралы
- •Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета
- •1 Неопределенный интеграл
- •Понятие неопределенного интеграла
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2.2 Метод подведения под знак дифференциала
- •2.3 Метод интегрирования подстановкой
- •2.4 Интегрирование по частям
- •2.5 Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •2.5.1 Рассмотрим интеграл
- •2.5.2 Рассмотрим интеграл вида
- •2.5.3 Рассмотрим интеграл вида
- •2.6 Интегрирование рациональных функций
- •2.6.1 Дробно-рациональная функция
- •2.6.2 Правильные рациональные дроби
- •2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму
- •2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей
- •2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные
- •2.6.6 Корни знаменателя действительные, среди них есть
- •2.6.7 Корни знаменателя комплексные и различные
- •2.6.8 Общий случай
- •2.7 Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегралы вида
- •2.7.3 Интегралы вида
- •2.7.4 Интегралы вида
- •2.7.5 Интегралы вида , ,
- •2.8 Интегрирование иррациональных функций
- •2.8.2 Интеграл вида
- •3 Определенный интеграл
- •3.1 Понятие определенного интеграла
- •3.2 Геометрический смысл определенного интеграла
- •3.3 Формула Ньютона–Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •3.8.1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.8.2 Несобственные интегралы от неограниченной функции
- •Приложения определенного интеграла
- •3.9.1 Вычисление площади плоской фигуры
- •3.9.2 Площадь криволинейного сектора
- •3.9.3 Вычисление длины дуги кривой
- •4 Вопросы для самопроверки
- •5 Типовые задания
- •Литература
- •Содержание Требования к представлению и оформлению результатов типового расчета………………………………...3
- •Неопределенный и определенный интегралы
1 Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Определение 1. Функция называется первообразной функ-ции на интервале , если для любого выполняется равенство
.
Например, первообразной функции является функ-ция , так как .
Очевидно, что , где – постоянное слагаемое, также является первообразной функции , так как .
Теорема 1. Если функция является первообразной функции на , то множество всех первообразных для задается формулой , где – постоянное число.
Определение 2. Множество всех первообразных функций для называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .
Таким образом, по определению
. (1)
Здесь – подынтегральная функция;
– подынтегральное выражение;
– переменная интегрирования;
– знак неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
Результат интегрирования проверяется дифференцированием.
Основные свойства неопределенного интеграла
Производная неопределенного интеграла равна подынтеграль-ной функции:
.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен подын-тегральному выражению:
.
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
,
в частности, .
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
,
где – .
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конеч-ного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интег-ралов от каждого слагаемого:
.
Если и – дифференцируемая функция, то
,
то есть формула для неопределенного интеграла остается справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независи-мой переменной или любой функцией, имеющей непрерывную произ-водную.
Правила интегрирования
Если , то
1) ;
2) ;
3) .
Пример 1.
.
Пример 2.
.
Пример 3.
.
1.4 Основные интегралы
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
2 ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2.1 Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к табличному интегралу, называется непосредственным интегрированием.
Пример 4. Найти интеграл .
Решение. числитель поч-ленно разделим на знаменатель и запишем данный интеграл в виде разности двух интегралов
.
Сделаем проверку, для чего найдем производную от результата интегрирования:
.
Получили подынтегральную функцию, следовательно, интеграл нашли правильно.
Пример 5. Найти интеграл .
Решение.
2.2 Метод подведения под знак дифференциала
Если подынтегральное выражение содержит некоторую функцию и ее производную, то в этом случае используют метод подведения под знак дифференциала:
. (2)
При сведении интеграла к табличному используют следующие преобразования:
,
,
,
,
,
где а и b – постоянные числа.
Например, .
Пример 6. Найти интеграл .
Решение. Заметим, что дифференциал от функции, стоящей под знаком корня, имеет вид . В подынтегральном выражении есть , то есть это . Тогда получим
Пример 7. Найти интеграл .
Решение. Заметим, что в подынтегральном выражении есть функция и ее производная . Тогда выражение является дифференциалом функции , то есть . Используя метод подведения под знак дифференциала, найдем интеграл
.