2.6.3 Разложение правильной рациональной дроби на сумму

простейших

При интегрировании правильных дробей необходимо:

1. разложить знаменатель дроби на простейшие линейные или квадратные множители, дискриминант которых меньше нуля;

2. представить данную дробь в виде суммы простейших дробей типа I–IV по правилу разложения правильной дроби на сумму простейших;

3. привести полученные дроби к наименьшему общему знаменателю;

4. приравнять числители данной дроби и полученной дроби;

5. приравнять коэффициенты при одинаковых степенях много-членов левой и правой частей полученного равенства на основании теоремы о равенстве двух многочленов;

6. решить систему уравнений относительно неизвестных коэффи-циентов, входящих в числители простейших дробей;

7. подставить найденные коэффициенты в разложение данной дроби на сумму простейших дробей;

8. найти интегралы от суммы простейших дробей.

Описанный метод называется методом неопределенных коэффи-циентов.

Правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших заключается в следующем:

1. Каждому неповторяющемуся множителю вида в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида .

2. Каждому неповторяющемуся множителю вида в разло-жении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей:

.

3. Каждому неповторяющемуся множителю вида ( ) в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует одна простейшая дробь вида

.

4. Каждому неповторяющемуся множителю вида

в разложении знаменателя правильной рациональной дроби соответствует сумма простейших дробей:

.

2.6.4 Интегрирование неправильных рациональных дробей

2.6.4.1 Если рациональная дробь неправильная, то ее нужно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель, то есть

. (10)

2.6.4.2 Разложить знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;

2.6.4.3 Проинтегрировать многочлен и полученную сумму прос-тейших дробей.

Рассмотрим примеры.

2.6.5 Корни знаменателя действительные и различные

Пример 20. Найти интеграл .

Решение. Дробь под знаком интеграла правильная, так как степень числителя меньше степени многочлена.

а) Разложим знаменатель на простые множители

.

Найдем корни квадратного трехчлена по теореме Виета:

Тогда .

б) Подынтегральную функцию представим в виде суммы прос-тейших дробей с неопределенными коэффициентами

.

Правую часть приведем к общему знаменателю

.

Так как две дроби с одинаковыми знаменателями равны, то тождественно равны их числители

. (11)

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют метод отдельных значений аргумента: аргументу придают число-вые значения столько раз, сколько неопределенных коэффициентов. Обычно за берут значения действительных корней знаменателя. Пусть . Подставим это значение в левую и правую части тождества (11), получим

.

Пусть .

,

отсюда

.

Пусть .

,

отсюда

.

в) Таким образом, интеграл может быть представлен в виде суммы трех простейших интегралов

.