14.3.2. Другий закон Кірхгофа в операторній формі

Для будь-якого контуру електричного кола, який має n віток з елементами R, L, C та e(t), можна скласти рівняння за ІІ законом Кірхгофа для миттєвих величин:

.

Припускаємо, що відомі зображення для миттєвих струмів та ЕРС в кожній вітці контуру.

i₁ .=˙I₁(p), i₂ .=˙I₂(p), … i_n .=˙I_n(p); e₁ .=˙E₁(p), e₂ .=˙E₂(p), …e_n .=˙E_n(p).

Тоді, використовуючи зображення, рівняння за ІІ-м законом Кірхгофа запишемо в наступному вигляді:

.

Перетворимо дане рівняння

.

Позначимо ,

тоді .

Дане рівняння є математичним записом другого закону Кірхгофа в операторній формі.

Алгебраїчна сума операторних зовнішніх та внутрішніх ЕРС в контурі електричного кола дорівнює алгебраїчній сумі операторних напруг на всіх елементах цього контуру.

При ненульових ПУ напруга на індуктивній котушці та конденсаторі в операторній формі дорівнює:

U_L(p)=pLI_L(p)-Li_L(0), .

При нульових ПУ ІІ закон Кірхгофа в операторній формі записується в наступному вигляді:

.

Таким чином, для розрахунку перехідних процесів операторним методом справедливі закони Ома та Кірхгофа. Тому усі методи розрахунку електричних кіл при сталих режимах, які засновані на законах Ома та Кірхгофа, можна застосовувати: метод еквівалентних перетворень, контурних струмів, вузлових потенціалів тощо. Запис рівнянь в операторній формі збігається за виглядом для кіл постійного та змінного струмів. Це є основною перевагою операторного методу розрахунку перехідних процесів.

Переваги операторного методу:

- не потрібно визначати постійні інтегрування;

- розв’язувати необхідно алгебраїчні рівняння, а не інтегрально-диференційні.

14.4. Розрахунок перехідних процесів операторним методом

Розрахунок перехідних процесів операторним методом складається з двох основних етапів:

– визначення зображення шуканої функції;

– перехід від зображення до оригіналу.

14.4.1. Визначення зображення шуканої функції часу

Для отримання зображення функції часу використовуються закони Ома та Кірхгофа в операторній формі, а також всі методи, що базуються на цих законах. При цьому:

- нерозгалужені електричні кола з нульовими та ненульовими ПУ, а також прості розгалужені кола з нульовими ПУ розраховуються за законом Ома;

- розгалужені електричні кола з ненульовими ПУ розраховуються за законами Кірхгофа та іншими методами розрахунку складних кіл в операторній формі.

14.4.2. Перехід від зображення до оригіналу

В загальному випадку перехід від зображення до оригіналу здійснюється за допомогою формули оберненого перетворення Лапласа

,

для чого необхідно знати теорію функцій комплексного змінного.

В простих випадках перехід виконують за формулами відповідності між оригіналом та зображенням, які приводяться в довідниках.

Другий шлях заснований на застосуванні формули розкладання.

Допускаємо, що зображення F(p) має вигляд раціонального правильного нескоротного дробу:

,

де: F₁(p) та F₂(p) – багаточлени;

a_k та b_k – дійсні числа, m<n.

Якщо багаточлен F₂(p) не має кратних коренів, тоді шукана функція часу, згідно теореми розкладання визначається за наступною формулою

,

де: p_k – k-й корінь рівняння F₂(p)=0;

F₁(p_k) – значення багаточлену F₁(p) при підстановці в нього кореня p_k;

F₂´(p_k) – значення похідної від багаточлену F₂(p) при підстановці в нього кореня p_k.