Тема 14. Розрахунок перехідних процесів операторним та суперпозиційним методами

14.1. Загальні відомості про операторний метод розрахунку перехідних процесів

Операторний метод заснований на тому, що функція f(t) дійсного аргументу t, яка називається оригіналом, перетворюється в функцію F(p) комплексного аргументу p=a+jb, що називається зображенням. Відповідність між оригіналом та зображенням записується в наступному вигляді:

f(t).=˙F(p),

де “.=˙” – знак відповідності.

Внаслідок перетворення інтегрально-диференційні рівняння відносно оригіналів перетворюються в алгебраїчні рівняння відносно зображень. Розв’язуючи алгебраїчні рівняння знаходимо зображення шуканих функцій, а потім за зображеннями визначаємо самі функції.

Перехід від оригіналів до зображень здійснюється за допомогою формули прямого перетворення Лапласа:

,

або перетворення Карсона:

,

де: f(t) – функція, що перетворюється, тобто, оригінал,

F(p) – зображення функції.

Наводимо формули перетворення деяких простих функцій (без доведення).

1. Зображення сталої – A.=˙ .

2. Зображення похідних – f’(t).=˙pF(p)-f(0);

.=˙ .

3. Зображення інтеграла – .=˙ ;

.=˙ .

4. Зображення показникових функцій:

e^αt.=˙ ; e^-αt.=˙ ;

e^jωt.=˙ ; e^-jωt.=˙ .

5. Зображення тригонометричних функцій:

cosωt.=˙ ; sinωt.=˙ ;

A_m sin(ωt+φ).=˙ .

14.2. Закон Ома в операторній формі

Розглянемо електричне коло з послідовним з’єднанням R, L, C (рис. 14.1). Коло має ненульові ПУ:

i _L(0)=i(0)≠0, u_C(0)≠0.

Розглянемо перехідний процес в колі після ввімкнення рубильника S. Перехідний процес в колі після комутації описується рівнянням u_R+u_L+u_C=e(t).

Підставимо значення u_L, u_R, u_C та врахуємо ненульові початкові умови:

.

Знайдемо зображення складових даного рівняння:

i(t).=˙I(p); e(t).=˙E(p); Ri.=˙RI(p);

.=˙ ; .=˙ .

Тоді

.

Визначимо струм

.

Це закон Ома для нерозгалуженого кола в операторній формі при ненульових початкових умовах,

де I(p) – операторний струм;

E(p) – операторна ЕРС;

– операторні опори елементів;

L·i(0) – внутрішня ЕРС, що обумовлена запасом енергії в магнітному полі котушки до комутації;

– внутрішня ЕРС, що обумовлена запасом енергії в електричному полі конденсатора до комутації.

За аналогією із законом Ома

– операторний опір кола з послідовним з’єднанням R, L, C.

Операторний опір Z(p) можна отримати із комплексного опору Z(jω) шляхом заміни jω на p.

В ідповідно формулі закону Ома зобразимо еквівалентну схему заміщення вихідного кола, що називається операторною (рис. 14.2). За позитивний напрямок внутрішньої ЕРС L·i(0) та приймається напрямок, який збігається з напрямком операторного струму I(p).

Коли початкові умови нульові, тобто i_L(0)=0, u_C(0)=0, то закон Ома в операторній формі приймає вигляд .

14.3. Закони Кірхгофа в операторній формі

14.3.1. Перший закон Кірхгофа в операторній формі

Для миттєвих струмів в вузлі електричного кола за І-м законом Кірхгофа маємо:

i₁+i₂+…+i_n=0

Припускаємо, що відомі зображення миттєвих струмів

i₁.=˙I₁(p); i₂.=˙I₂(p); i_n.=˙I_n(р).

Тоді для операторних струмів отримаємо

I₁(p)+I₂(p)+…+I_n(p)=0,

або

.

Алгебраїчна сума операторних струмів в вузлі дорівнює нулю – це є перший закон Кірхгофа в операторній формі