- •Основи теорії кіл. Частина ііі Розділ vіі. Перехідні процеси у електричних колах
- •Тема 13. Розрахунок перехідних процесів класичним методом
- •13.1. Загальні відомості про перехідні процеси в електричних колах з зосередженими параметрами
- •13.2. Закони комутації
- •13.3. Початкові умови
- •13.4. Класичний метод розрахунку перехідних процесів. Сталі та вільні складові перехідних струмів та напруг
- •13.5. Перехідні процеси при короткому замиканні у колі з r та l
- •13.6. Перехідні процеси при включенні кола з послідовним з’єднанням r та l до джерела постійної напруги
- •13.7. Перехідні процеси при включенні кола r, l до джерела синусоїдної напруги
- •13.8. Перехідні процеси при короткому замиканні у колі з r та c
- •13.9. Перехідний процес при включенні кола з послідовним з’єднанням r та с до джерела постійної напруги
- •13.10. Перехідний процес при включенні кола з послідовним з‘єднанням r та c до джерела синусоїдальної напруги
- •13.11. Перехідні процеси при розряді конденсатора на активний опір та індуктивну котушку
- •13.11.1. Аперіодичний розряд конденсатора
- •13.11.2. Коливальний (періодичний) розряд конденсатора
- •13.11.3. Гранично-аперіодичний розряд конденсатора
- •Тема 14. Розрахунок перехідних процесів операторним та суперпозиційним методами
- •14.1. Загальні відомості про операторний метод розрахунку перехідних процесів
- •14.2. Закон Ома в операторній формі
- •14.3. Закони Кірхгофа в операторній формі
- •14.3.1. Перший закон Кірхгофа в операторній формі
- •14.3.2. Другий закон Кірхгофа в операторній формі
- •14.4. Розрахунок перехідних процесів операторним методом
- •14.4.1. Визначення зображення шуканої функції часу
- •14.4.2. Перехід від зображення до оригіналу
- •Приклад:
- •14.5. Загальні відомості про суперпозиційний мутод дослідження перехідних процесів
- •14.6. Одинична функція. Перехідна характеристика кола
- •14.7. Перша форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля
- •14.8. Послідовність розрахунку перехідних процесів за допомогою інтегралу Дюамеля
- •14.9. Імпульсна функція
- •14.10. Імпульсна характеристика кола
- •14.11. Третя форма суперпозиційного інтегралу Дюамеля
- •Приклади розрахунку перехідних процесів Задача № 1
- •Задача № 2
- •Задача № 3
- •Задача № 4
- •Задача № 5
- •Задача № 6
- •Задача № 7
- •Задача № 8
- •Задача № 9
- •За законом Ома
- •Знайдемо похідну
- •Записуємо кінцевий вираз для струму і2(t)
- •Тема 13. Розрахунок перехідних процесів класичним методом……….1
- •13.1. Загальні відомості про перехідні процеси в електричних колах з зосередженими параметрами…………………………………………………...1
- •Тема 14. Розрахунок перехідних процесів операторним та суперпозиційним методами……………………………………………………23
13.11.2. Коливальний (періодичний) розряд конденсатора
Коливальний розряд конденсатора у контурі R,L,С має місце при умові, що дискримінант характеристичного рівняння менше нуля, тобто D < 0
< 0, або R<2ρ.
У цьому випадку корені характеристичного рівняння будуть комплексно-спряжені з від'ємною дійсною частиною
де – кутова частота власних коливань контуру з втратами,
звідси: .
У даному випадку загальне рішення однорідного рівняння необхідно шукати в вигляді:
де θ=arctgωc /δ.
Докажемо це, для чого запишемо комплексно-спряжені корені в показниковій формі:
де θ=arctgωc /δ.
Підставимо значення p1 та p2 у вираз для uc
Отриманий вираз аналогічний раніше записаному та представляє собою затухаючий процес. Отже, у випадку комплексно-спряжених коренів характеристичного рівняння рішення однорідного диференційного рівняння другого порядку треба шукати у вигляді:
Для визначення сталих інтегрування A та в якості другого рівняння використаємо рівняння для струму:
Скористаємося незалежними початковими умовами. При t=0:
→
Враховуючи, що
Звідси: , .
Визначимо sinθ за відомими
для чого скористаємося допоміжним трикутником (рис. 13.23), звідки маємо:
.
Тоді сталі інтегрування дорівнюють:
, .
Підставимо значення A та у вирази для напруги uс та струму і, отримаємо:
.
Для спрощення побудови та аналізу часової діаграми перехідного струму i приведемо його вираз до однієї тригонометричної функції.
З допоміжного трикутника маємо:
Враховуючи, що , отримуємо:
Введемо позначення , тоді:
Закінчений вираз для uc та i приймає вид :
Напруга нa індуктивній котушці uL буде:
.
Коливальний характер зміни напруги uс та струму i пояснюється багатократним обміном енергією між електричним полем конденсатора та магнітним полем котушки. Так як коло має опір R, то коливальний процес є затухаючим (рис. 13.24). Вільний процес затухає тим швидше, чим більше коефіцієнт згасання контуру ,який входить у множник .
Кількісною характеристикою швидкості згасання служить декремент коливання.
Д екрементом коливань зветься відношення двох наступних друг за другом максимальних значень струму або напруг одного знаку:
Величина зветься логарифмічним декрементом коливань.
13.11.3. Гранично-аперіодичний розряд конденсатора
Гранично-аперіодичний розряд конденсатора в контурі R,L,С має місце при тобто , або що зветься критичним опором.
У цьому випадку корені характеристичного рівняння є рівними та від’ємними числами:
.
У цьому випадку вільну складову напруги шукають у вигляді:
Перехідний струм у контурі
Знаходимо сталі інтегрування. При t=0:
, звідси
Після підстановки сталих інтегрування отримаємо:
, .
Напруга на індуктивній котушці:
Враховуючи, що:
отримаємо:
.
Часові діаграми і,uL,uc за формою подібні відповідним кривим при аперіодичному розряді конденсатора. Але цей процес є граничним, при якому ще не відбувається перезарядки конденсатора.