Приклад:

Розглянемо застосування операторного методу розрахунку перехідних процесів на конкретному прикладі (рис. 14.3).

Д ано: R₁; R₂; C; U=const.

Розрахувати перехідний процес в колі при ввімкненні його до джерела постійної напруги.

Розв’язання:

Маємо розгалужене електричне коло з нульовими ПУ. Для розрахунку застосовуємо закон Ома в операторній формі для нульових ПУ

,

де: , .

Тоді: .

Для знаходження оригіналу скористаємося формулою розкладення

,

яка застосовується наступним чином.

1. Визначаємо корні знаменника p_k:

F₂(p)=p(R₁R₂ pC+R₁+R₂)=0,

p₁=0; .

2. Обчислимо похідну від знаменника F₂’(p):

F₂’(p)=2R₁R₂Cp+R₁+R₂.

3. Обчислимо значення F₁(p_k) та F₂’(p_k):

1) p₁=0 → F₁(p₁)=U; F₂’(p₁)=R₁+R₂.

2) ;

.

4. Визначимо струм за формулою розкладення:

.

5. Для визначення інших струмів можна застосувати класичний метод. Для I-го контуру (рис. 14.3) маємо:

R₁i₁+R₂i₂=U; ,

тоді i₃= i₁ - i₂.

14.5. Загальні відомості про суперпозиційний мутод дослідження перехідних процесів

Класичний та операторний методи розрахунку перехідних процесів застосовуються для аналізу лінійних електричних кіл з джерелами постійної або синусоїдної напруг.

Якщо напруга (струм) джерела електричної енергії змінюється за довільним законом (також має розриви неперервності першого роду), тоді для дослідження перехідних процесів необхідно застосовувати суперпозиційний метод (метод накладання).

Основою суперпозиційного методу є те, що вхідний сигнал (струму або напруги) складної форми заміняється сумою елементарних сигналів стандартної форми, в якості яких використовуються одинична функція та імпульсна функція.

14.6. Одинична функція. Перехідна характеристика кола

О динична функція 1(t) – це функція часу (рис. 14.4), яка задовольняє наступним умовам:

В електричних колах одиничною функцією є: U=1В; І=1А.

Дію одиничної функції на вході кола можна порівняти з раптовим включенням кола при t=0 під постійну одиничну напругу або струм. Підключення кола до постійної напруги U₀ при t=0 можна записати в вигляді: х(t)=U₀ 1(t).

Ця функція називається ступінчастою функцією (рис. 14.5).

Підключення кола до сигналу довільної форми ƒ(t) (рис. 14.6) при t=0 можна записати так: x(t)=ƒ(t) 1(t)

Із графіків видно, що функція х(t) є розривною функцією часу навіть в тому випадку, коли вхідний сигнал постійний U₀ або неперервний ƒ(t).

Крім одиничної функції 1(t), яка вмикається при t=0, для розрахунку перехідних процесів застосовується також одинична функція (рис. 14.7), яка запізнюється за часом на τ:

Підключення кола до постійної напруги U₀ при t= τ можна записати так: x(t)= U₀ 1(t- τ). Це є ступінчастий сигнал, який запізнюється за часом на τ.

Одинична функція дозволяє приблизно подати будь-який сигнал довільної форми як алгебраїчну суму ступінчастих сигналів. В цьому випадку перехідний процес в лінійному електричному колі при дії на вході такого сигналу можна подати, на підставі принципу накладання, як алгебраїчну суму реакцій на кожен ступінчатий сигнал. Реакція електричного кола на вхідний сигнал типу одиничної функції характеризується перехідною характеристикою кола.

Вхідний сигнал: x(t)=A 1(t).

Вих. сигнал: Y(t).

Перехідною характеристикою називається функція часу h(t), яка дорівнює відношенню вихідного сигналу Y(t )в вітці, яка нас цікавить, який викликається дією на коло з нульовими початковими умовами ступінчастого сигналу x(t), до величини цього сигналу А.

h(t)= Y(t)/A.

Звідси Y(t)=Ah(t) – реакція кола на ступінчастий сигнал.

Для лінійного електричного кола величина та характер h(t) не залежить від величини А, а залежить тільки від параметрів елементів кола і схеми їх з’єднання.

При А=1; h(t)=Y(t), тобто перехідна характеристика в числовому значені дорівнює реакції кола на одиничну функцію.

Якщо вхідний сигнал U, а вихідний – перехідний струм i(t), то перехідною характеристикою буде перехідна провідність у(t)

h(t)=i(t)/U=y(t) [См].

Якщо вхідний сигнал U, а вихідний – перехідна напруга u(t), то перехідною характеристикою буде перехідний коефіцієнт передачі напруги k_u(t)

h(t)=u(t)/U= k_u(t).

Для визначення перехідної характеристики кола достатньо розрахувати перехідний процес в колі з нульовими початковими умовами при вмиканні кола на одиничну функцію (одиничну напругу U=1).