- •1. Определение линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
- •4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Определение ранга матрицы
- •10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
- •21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
- •27. Определение k - плоскости. Гиперплоскость.
- •28. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Определение и примеры кривых второго порядка.
- •30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.
- •1. Неравенство Коши-Буняковского.
- •2. Неравенство треугольника.
- •3. Линейная независимость лестничной системы векторов.
- •4. Однозначность разложения вектора по базису.
- •11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
- •12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
- •14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
- •15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
- •16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
- •17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
- •18. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •19. Вывод канонического уравнения гиперболы.
- •20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
Матрица квадратичной формы А при переходе к другому базису будет меняться по следующей формуле: А’=РTАР
X=PX’, где Р – невырожденная матрица, Х – старые координаты, а Х’ - новые
Φ=(PX’)TA(PX’)=X’T(PTAP)X’
Отсюда и видно, что матрица квадратичной формы в новых переменных будет А’=РTАР
18. Вывод канонического уравнения эллипса.
Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1(-c;0) и F2(c;0). Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, MF1+MF2=2a, т. е.
Это, по сути, и есть уравнение эллипса. Преобразуем уравнение к более простому виду следующим образом:
Так как по определению a>с, то a2-c2>0. Положим a2-c2=b2. Тогда последнее уравнение примет вид b2x2+a2y2=a2b2 или
19. Вывод канонического уравнения гиперболы.
Для вывода уравнения гиперболы выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты: F1(-c;0) и F2(c;0). Пусть М(х;у) — произвольная точка гиперболы. Тогда, согласно определению гиперболы, |MF1-MF2|=2a
Это, по сути, и есть уравнение гиперболы. Преобразуем уравнение к более простому виду следующим образом:
Так как по определению a<с, то a2-c2<0. Положим a2-c2=b2. Тогда последнее уравнение примет вид b2x2-a2y2=a2b2 или
20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
Пусть дано Х1,...,Хn - выпуклые множества. Обозначим - пересечение выпуклых множеств. Покажем, что Y - выпуклое множество. Для этого покажем, что для любых точек A,BY и для любого значения α in[0;1] точка M=αA+(1-α)B также принадлежит множеству Y: MY. Так как Y - суть пересечение выпуклых множеств Х1,...,Хn, то выбранные произвольным образом точки A, B принадлежат каждому из этих множеств Xi, i=1..n. В силу выпуклости каждого из множеств Xi по определению следует, что для произвольно выбранного значения α[0;1] точка M=αA+(1-α)B принадлежит каждому из множеств (все они выпуклы и содержат A,B). Так как все множества Xi содержат точку M, то и пересечение этих множеств также содержит точку M: MY. Из последнего включения в силу произвольности A,BY и произвольности параметра a[0; 1] следует выпуклость множества Y, что и требовалось показать.