Оглавление
1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы. 1
2. Вектор валового выпуска, вектор конечного потребления, матрица прямых затрат. 2
3. Уравнение межотраслевого баланса. Модель Леонтьева. Продуктивная матрица. 2
4. Первый и второй критерии продуктивности. 2
5. Докажите, что матрица A ≥ 0 продуктивна тогда и только тогда, когда матрица − существует и неотрицательна (первый критерий продуктивности). 2
6. Докажите, что если неотрицательная квадратная матрица продуктивна, то ее число Фробениуса меньше 1. 2
7. Задача оптимизации. Допустимое множество. Целевая функция. 3
8. Оптимальное решение. Оптимальное множество. Задача линейного программирования (ЗЛП). 3
9. Примеры ЗЛП. Задача о банке, задача о диете, задача об использовании ресурсов. 3
10. Каноническая и стандартная формы ЗЛП. Приведение ЗЛП к стандартному и каноническому виду. Примеры. 5
11. Теоремы о существовании оптимального решения ЗЛП и о его достижимости в угловой точке в случае ограниченной целевой функции 6
12. Теорема о структуре множества оптимальных решений 6
13. Графический метод решения ЗЛП. 6
14. Симплекс-метод. Допустимый вид системы ограничений, допустимый базис, условие неотрицательности свободных членов. 6
15. Симплекс-таблица. Строка оценок. Условие оптимальности базисного решения. Условие неограниченности целевой функции. Условие существования альтернативного решения. Примеры. 8
16. Теорема о конечности симплекс-алгоритма (без доказательства). 9
17. Постановка взаимно-двойственных задач. 9
18. Основное неравенство для двойственных задач (с доказательством). Достаточный признак оптимальности. 9
19. Основная теорема двойственности. Критерий оптимальности (без доказательства). 10
20. Теорема равновесия (с доказательством). 10
21. Постановка транспортной задачи (ТЗ). 10
22. Критерий разрешимости ТЗ (с доказательством). 11
23. Методы построения начального опорного плана ТЗ (метод северо-западного угла, метод минимального тарифа). 11
24. Метод потенциалов. Оценки свободных клеток. Перестановка по циклу. Условие оптимальности опорного плана. 11
25. Определение разностного уравнения порядка k . Общее решение разностного уравнения k -го порядка. 12
26. Линейное разностное уравнение k -ого порядка с постоянными коэффициентами. Теоремы об общем решении однородного и неоднородного линейного разностного уравнения (без доказательства). 12
27. Фундаментальный набор решений линейного разностного уравнения. Характеристическое уравнение. Определитель Казоратти. 12
28. Теорема о частном решении линейного неоднородного разностного уравнения (без доказательства). 13
29. Модель Самуэльсона-Хикса. Уравнение Хикса. Мультипликатор Кейнса. 13
30. Паутинная модель рынка. 13
31. Задача об определении текущей стоимости купонной облигации. 14
1. Теорема Фробениуса-Перрона. Определение числа и вектора Фробениуса неотрицательной матрицы.
Для любой
неотрицательной матрицы А=>0 существует
собственное значение λА=>0
(называемое числом Фробениуса) такое,
что λА=>|λ|
для любого собственного значения λ
матрицы А. Кроме того, существует
неотрицательный собственный вектор
А=>0,
соответствующий собственному значению
λА
и называемый вектором Фробениуса.
Причём, если А>0, то λА>0
и
А>0