Часть А.

1. Определение линейного пространства.

Линейное, или векторное пространство — это множество V( элементы которого называют векторами) с отмеченным вектором V (нулевой вектор), обладающее следующими свойствами:

• Для любого из двух векторов определенна их сумма

• Для любого вектора и числа определенно их произведение λ

(1) + = + .

(2) ( + ) + = + ( + ).

(3) + 0 = .

(4) для любого вектора существует такой вектор - , что + (− ) = 0.

(5) λ( + ) = λ + λ .

(6) (λ + μ) = λa + μa .

(7) (λμ) = λ(μ ).

(8) 1 = .

2. Определение подпространства линейного пространства. Критерий подпространства.

Пусть V – векторное пространство. Подмножество L V называют подпространством пространства V, если

1. для любых двух векторов a, b L их сумма a + b L

2. для любого вектора а L и любого действительного числа λ произведение λa также принадлежит L

Критерий подпространства:

3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.

Система векторов … называется линейно зависимой, если существуют такие числа _, ... _, не равные одновременно нулю, что справедливо равенство …+ =

Если последнее равенство выполняется только при .= ..= , то система векторов называется линейно независимой.

Свойства линейной зависимости.

• система из одного вектора линейно зависима тогда и только тогда, когда а = 0

• Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

• если часть системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима

• Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.

Рангом системы векторов S={ … } пространства V называется размерность линейной оболочки этой системы L(S): rk(S)=dimL(S). Базисом системы S называется часть системы, являющаяся базисом линейной оболочки L(S).

Система векторов S={ … } называется базисом линейного пространства V если выполнены следующие условия: 1) векторы линейно независимы

2)Любой вектор из V является линейной комбинацией векторов .

5. Определение ортогональной системы векторов.

Система векторов в евклидовом пространстве называется ортогональной, если все векторы в ней попарно ортогональны.

Ортогональность — понятие, являющееся обобщением перпендикулярности для линейных пространств с введённым скалярным произведением.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю.

6. Определение скалярного произведения векторов в Rn и его свойства.

Скалярное произведение — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними.

Свойства:

1. ( , ) = ( , );

2. (λ , ) = λ( , );

3. ( + , ) = ( , ) + ( , );

4. ( , )≥0, и ( , ) = только в случае = .

7. Понятия определенной и неопределенной систем уравнений.

Совместная система линейных алгебраических уравнений называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.