28. Определение и свойства выпуклого множества.

Множество М ⊂ Т называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит весь отрезок АВ.

Свойства (единственные более-менее приличные найденные):

1. Замыкание выпуклого множества выпукло

2. Если а – внутренняя точка выпуклого множества V, a b ∈ ͞V, то каждая точка отрезка [a, b] за исключением, может быть, точки b, является внутренней точкой множества V.

3. Пусть V – открытое выпуклое множество в Rⁿ и g ∉ V. Если g ∈ ͞V, то g – граничная точка V.

4. Внутренняя область V⁰ выпуклого множества V является выпуклым множеством.

5. На каждом луче, исходящем из внутренней точки выпуклого множества, имеется не более одной граничной точки.

6. Если V - выпуклое множество в непустой внутренней областью V⁰, то ͞V = ͞V⁰

29. Определение и примеры кривых второго порядка.

Кривая второго порядка – линия на плоскости, определяемая алгебраическим уравнением второй степени. a₁₁x² + 2 a₁₂ xy + a₂₂ y² + 2 a₁₀ x + 2 a₀₁ y + a₀₀ = 0

1. эллипсом называется множество всех точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек F₁ и F₂ есть постоянная величина 2а, превышающая расстояние между F₁ и F₂.

x²/ a² + y²/ b² = 1

2. гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до данных точек F₁ и F₂ есть величина постоянная.

x²/ a² - y²/ b² = 1

3. параболой называется множество всех точек плоскости, для которых расстояние до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d, не проходящей через точку F.

F – фокус, d – директриса, расстояние от фокуса до директрисы – параметр параболы.

y2 = 2 Px

30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.

Поверхностью второго порядка называется множество точек в пространстве, координаты x, y, z которых удовлетворяют уравнению a₁₁x² + a₂₂y² + a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2a₁₀x + 2a₂₀y + 2a₃₀y + 2a₃₀z + a₀₀ = 0

1. Эллипсоид. x²/ a² + y²/ b² + z²/ c² = 1.

2. Однополостный гиперболоид)) x²/ a² + y²/ b² - z²/ c² = 1

3. Двуполостный гиперболоид. x²/ a² + y²/ b² - z²/ c² = - 1

4. Конус. x²/ a² + y²/ b² - z²/ c² = 0

5. Эллиптический параболоид. x²/ a² + y²/ b² = 2z

6. Гиперболический параболоид. x²/ a² - y²/ b² = 2z

7. Эллиптический цилиндр. x²/ a² + y²/ b² = 1

8. Гиперболический цилиндр. x²/ a² - y²/ b² = ± 1.

9. Параболический цилиндр. x² = 2 py, y² = 2 qx

10. Пара пересекающихся плоскостей. x²/ a² - y²/ b² = 0

11. Пара параллельных плоскостей. x² – a² = 0

12. Пара совпавших плоскостей x² = 0.

Часть Б.

1. Неравенство Коши-Буняковского.

Для любых двух векторов ā и b евклидового пространства выполнено:

(a,b)²≤|a|²*|b|²,

Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда a и b коллинеарны. (Лемма)

Доказательство:

В случае ā=0 лемма очевидна. В случае ā≠0 рассмотрим квадратный трехчлен:

|t*a+b|²=(t*a+b,t*a+b)=(a,a)*t²+2(a,b)*t+(b,b)

|ta+b|²≥0, то дискриминант трехчлена |ta+b|² неположителен.

D(|ta+b|²)=(2(a,b))²-4(a,a)(b,b)=4((a,b)²-|a|²|b|²≤0

a и b коллинеарны, следовательно ta+b=0 для некоторого t=t₀ ⇔ |ta+b|² имеет вещественный корень ⇔ дискриминант трехчлена равен 0 ⇔ (a,b)²-|a|²|b|²=0, лемма доказана.