- •1. Определение линейного пространства.
- •3. Понятие линейной зависимости и линейной независимости системы векторов. Свойства линейной зависимости.
- •4. Определения ранга системы векторов и базиса линейного пространства.
- •5. Определение ортогональной системы векторов.
- •8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.
- •9. Определение ранга матрицы
- •10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.
- •21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.
- •27. Определение k - плоскости. Гиперплоскость.
- •28. Определение и свойства выпуклого множества.
- •29. Определение и примеры кривых второго порядка.
- •30. Определение и примеры поверхностей второго порядка.
- •1. Неравенство Коши-Буняковского.
- •2. Неравенство треугольника.
- •3. Линейная независимость лестничной системы векторов.
- •4. Однозначность разложения вектора по базису.
- •11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
- •12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
- •14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
- •15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
- •16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
- •17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.
- •18. Вывод канонического уравнения эллипса.
- •19. Вывод канонического уравнения гиперболы.
- •20. Выпуклость пересечения выпуклых множеств.
11. Линейная независимость векторов, составляющих ортонормированную систему.
Система векторов v1,…vn называется ортонормированной если выполняется: - символ Кронекера.
Пример ортонормированной системы в R3:
х=(1,0,0), у=(0,1,0), z=(0,0,1) (х,у)=(у,z)=(х,z)=0, (х,х)=(у,у)=(z,z)=1
Док-во линейной независимости 3х3
Пусть x,y,z R3 – система ортонормированных векторов: х=(1,0,0), у=(0,1,0), z=(0,0,1) (х,у)=(у,z)=(х,z)=0, (х,х)=(у,у)=(z,z)=1
Предположим, что система векторов линейно зависима, то есть z=x+y. Тогда 0=(z,х)=(х+y,x)=(х,х)+(x,у)=
Мы получили, что =0, то есть z=у. Аналогично
0=(z,у)=(y,y)=(у,у)=
Мы получили, что ==0, а значит, z=0, что противоречит с тем условием, что (z,z)=1. Противоречие означает, что система ортонормированных векторов x,y,z R3 - линейно независима, что означает, что система трех линейно независимых векторов x,y,z является базисом в пространстве размерности 3.
12. Формулы для вычисления координат вектора в ортогональном базисе.
Рассмотрим евклидово пространство V с ортогональным базисом е1,...,en. Тогда, для любого вектора āV выполнено . Другими словами, координаты вектора в базисе е1,...,en равны .
Доказательство. Пусть – разложение вектора ā по базису, где
- координаты вектора ā. Умножим скалярно обе части разложения вектора на ei получим: и, следовательно, . Отсюда и из разложения вектора следует формула вычисления координат в базисе.
13. Невырожденность ортогональной матрицы.
Матрица называется ортогональной, если А*АТ=Е, то есть АТ=А-1
Пусть АRnxn – ортогональная матрица. Предположим, что detA=0 (то есть, что ортогональная матрица – вырождена). По свойству определителей det(A*АТ)=0. Но из определения ортогональности det(A*АТ)=detE=1. Данное противоречие показывает, что любая ортогональная матрица невырождена.
14. Изменение матрицы линейного преобразования при замене базиса.
Изменение матрицы производится по формуле А’=T-1AT
Пусть А – матрица линейного преобразования f в базисе . Предположим, что мы переходим к новому базису, в котором преобразованию отвечает новая матрица А’, а Т есть матрица перехода от исходного базиса к новому базису. Х=ТХ’, где Х – столбец из старых координат разложенного по базису вектора, а Х’ – столбец из новых координат. Аналогично Y=TY’. Учитывая, что Y=AX, Х=ТХ’ и Y=TY’, установим связь между Х’ и Y’.
Y’=T-1Y=T-1AX=T-1ATX’. Отсюда следует, что матрицей отображения А в новом базисе будет матрица A’=T-1ATX, что и требовалось доказать.
15. Равенство характеристических многочленов подобных матриц.
Рассмотрим подобные матрицы A и B = C-1AC, где C - невырожденная матрица. Тогда
fB=|B - λE|=|C-1 AC - λE|=|C-1AC – C-1(λE)C|=|C-1(A - λE)C|=|A - λE| = fA Что и требовалось показать.
16. Ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям самосопряженного линейного преобразования.
Пусть φ: V→V – оператор, – собственные векторы оператора φ, соответствующие собственным значениям λ1,…,λm соответственно. Среди собственных значений λ1,…,λm нет совпадающих. Тогда векторы линейно независимы
Доказательство. Доказываем индукцией по m. При m=1 лемма очевидна. Пусть m>1 и - соотношение линейной зависимости. Мы должны доказать, что все коэффициенты равны нулю. Применив оператор φ к правой и левой частям равенства, получим
Умножая первое равенство на λm и вычитая из второго, получаем
По индукции отсюда получаем, что . Из этого следует, что , так как среди чисел λ1,…,λm нет совпадающих.
Отсюда и из первого равенства следует, что и, следовательно, . Таким образом, мы получили, что все коэффициенты соотношения линейной зависимости равны нулю. А значит ортогональность собственных векторов доказана.