8. Определение фундаментального набора решений системы уравнений.

Фундаментальная система решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений. (вики)

Или:

Базис линейного пространства решений однородной системы называется фундаментальным набором решений этой системы. (учебник)

9. Определение ранга матрицы

Рангом матрицы A (обозначается rk A) называется ранг системы векторов, образуемых строками матрицы.

10. Понятия вырожденной и невырожденной матриц.

Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, и определитель отличен от нуля. В противном случае она называется вырожденной.

№ 11. Определение ортогональной матрицы.

Квадратная матрица O называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов. Это условие можно записать в виде одного матричного равенства: O x O^T = E

№ 12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц

Произведением матрицы A = (a _{i j} ) размера m x n на матрицу B = (b _{i j} ) размера n x s, элементы которой определяются формулой:

c _ik = a_i1b_1k + a _i2b_2k + … + a_inb_nk ,

где i = 1,2....,m; k = 1,2......s.

Свойства:

• (AB)C = A(BC)

• A(B+C) = AB + AC

• (A + B)C = AC + BC

• λ(AB) = (λA)B = A(λB)

• (AB)^T = B^T A^T

№ 13. Определение обратной матрицы и ее свойства

Пусть A — квадратная матрица n x n. Матрица B (того же размера) называется обратной для A, если AB = BA = E

Обратную матрицу A обычно обозначают А^-1

Свойства:

• (A^T)^-1 = (A^-1) ^T

• (A^-1)^-1 = A

• (AB)^-1 = B^-1 A^-1

№ 14. Свойства определителей

• если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен нулю

• при перестановке любых двух строк определитель умножается на -1

• определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю

• общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя

• если элементы некоторой строки определителя Δ представлены в виде суммы двух слагаемых, то и сам определитель равен сумме двух определителей Δ₁ и Δ₂. В определителе Δ₁ указанная строка состоит из первых слагаемых, в Δ₂ – из вторых. Остальные строки определителей Δ₁ и Δ₂ – те же, что и в Δ

• величина определителя не изменится, если к одной из строк прибавить другую строку, умноженное на какое угодно число

• сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения к соответствующим элементам другой строки равна нулю

• определитель матрицы A равен определителю транспонированной матрицы А^-1

• определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц, то есть |A x B| = |A| x |B|

№ 15. Теоремы о целых и рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами

Рассмотрим многочлен f(t) = f_ntⁿ + … + f₁t + f₀ степени n с целыми коэффициентами и пусть p/q – рациональный корень этого многочлена, причем дробь p/q несократима. Тогда p делит f₀ , а q делит f_n

№ 16. Теорема Безу и следствия из нее

Остаток от деления многочлена f(t) на многочлен t – t₀ равен f(t₀)

Следствие:

Многочлен f(t) делится на t – t₀ тогда и только тогда, когда t₀ является корнем многочлена f(t)

№ 17. Определение модуля и аргумента комплексного числа

Длину вектора z, соответствующего комплексному числу z, называют модулем этого числа z. Угол φ между вектором z и положительным направлением оси Ox называют аргументом комплексного числа z.

Модуль комплексного числа обозначают |z|, а аргумент — Arg z

№ 18. Формула Муавра

Если z = |z|(cos (φ) + i sin (φ)), то zⁿ = |z|ⁿ (cos (nφ) + i sin (nφ)

№ 19. Основная теорема алгебры

Многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом кратностей)

№ 20. Определение линейного преобразования

Отображение f линейного пространства V в себя называется линейным преобразованием, если для любых векторов x, y є V и для любого λ є R выполняются равенства f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x)