21. Определения собственных векторов и собственных значений. Свойства собственных векторов.

Пусть φ : V → V – оператор. Собственным вектором оператора φ называют вектор ͞0 ≠ ͞a ψ V такой, что φ (͞a) = λ a͞, где λ – число, которое называют собственным значением оператора φ, соответствующим собственному вектору ͞a.

Свойства. Пусть ψ: х_n → х_n - линейный оператор

1. Все собственные векторы линейного оператора, соответствующие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное пространство.

2. Собственные векторы линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы.

3. Если линейный оператор ψ : х_n → х_n имеет n различных (вещественных) собственных значений, то собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют базис в X_n . Такой базис называется собственным базисом линейного оператора ψ.

4. Матрица А линейного оператора ψ : х_n → х_n в некотором базисе x₁, x₂,  … , x_n имеет диагональный вид тогда и только тогда, когда этот базис собственный, причем диагональные элементы этой матрицы — собственные значения оператора λ₁, λ₂,  … , λ_n

22. Определение квадратичной формы.

Квадратичная форма в пространстве V – это функция q: V →R, которая в координатах х₁, … , х_n имеет вид q(x) = q(x₁, . . . , xn) = Σ_{1≤i, j≤n, qij=qji} q_ijx_ix_j.

23. Закон инерции квадратичных форм.

Число положительных и число отрицательных квадратов в каноническом виде, к которому приводится квадратичная форма с помощью обратимого линейного преобразования переменных, не зависят от выбора этого преобразования.

24. Критерий Сильвестра.

Квадратичная форма Ф тогда и только тогда является положительно определённой, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

25. Формула расстояния между точками в многомерном пространстве. Свойства расстояния.

Расстояние между точками P и Q в пространстве Rⁿ определяется как длина вектора PQ и записывается в виде

Свойства расстояния:

1. |AB| >= 0, причем |AB|=0 <==> A=B.

2. |AB|=|BA|,

3. |AC| <= |AB|+|BC|

26. Определение отрезка, теорема об отрезке.

Пусть А и В – две точки из Т (Т – точечное пространство, ассоциированное в n-мерным векторным пространством V). Отрезком АВ называется множество точек Х вида Х = А + t А͞В, где t принимает любое значение из промежутка [0, 1]. Т.о., отрезок АВ есть часть прямой, когда в качестве направляющего вектора берётся вектор А͞В, а t изменяется только от 0 до 1.

Теорема: Отрезок АВ состоит из точек Х, для которых справедливо равенство О͞Х = sО͞А + (1-s)О͞В, где s – любое число из [0, 1].

27. Определение k - плоскости. Гиперплоскость.

Пусть k – натуральное число, А – фиксированная точка в n-мерном пространстве Т и p͞₁, p͞₂, … , p͞_k – набор линейно независимых векторов из линейного пространства V. Множество точек Х вида X = A + t₁p͞₁ + t₂p͞₂ + … + t_kp͞_k, где t₁, t₂, … , t_k – любые числа, называются k-мерной плоскостью в Т.

Можно считать 1 ≤ k ≤ n-1.

Плоскости размерности n-1 носят название гиперплоскостей.