3. Расчет электрической цепи методом двух узлов ( узлового напряжения )

1. Примем, что все 3 тока ветвей направлены снизу вверх

2. Проводимости ветвей цепи:

левой G = 1 / z = 1 / ( 20 – ĵ5 ) = … = 0,047 + ĵ0,01176

средней G = 1 / z = 1 / ( ĵ35 ) = … = - ĵ0,0285;

правой G = 1 / z = 1 / ( 20 + ĵ5 ) = 0,032 – ĵ0,024.

2. узловое напряжение

U = ( Е *G + Е * G ) / ( G + G + G ) = [ ( ĵ40 )*( 0,047 + ĵ0,01176 ) +

+ ( - 42,42 + ĵ42,42 )] / [ ( 0,047 + ĵ0,01176 ) + ( - ĵ0,0285 ) + ( 0,032 – ĵ0,024 )] = …

= - 8,53 + ĵ34,7

2. токи в ветвях

I = ( Е - U )* G = [( ĵ40 ) - (- 8,53 + ĵ34,7 )]* ( 0,047 + ĵ0,01176 ) =

= … = 0,3376 + ĵ0,349;

I = ( Е - U )* G = [( - 42,42 + ĵ42,42 ) - (- 8,53 + ĵ34,7 )]*( - ĵ0,0285 ) =

=… = 0,22 + ĵ0,966;

I = ( 0 - U )* G = [ 0 – (- 8,53 + ĵ34,7 )]* ( 0,032 – ĵ0,024 ) = … = - 0,56 – ĵ1,3147.

5. приведенная выше формула узлового напряжения была получена при условии, что все три тока ветвей направлены снизу вверх. Поскольку ток I = - 0,56 – ĵ1,347 имеет отрицательную действительную часть, его истинное направление противоположно выбранному, т.е. ток I направлен сверху вниз ( в тот момент времени, когда токи .

I и I направлены снизу вверх – ведь токи переменные ).

6. проверим правильность расчета, применив 1-й закон Кирхгофа для узла «А»:

I = I + I , или в числах: ( 0,56 + ĵ1,3147 ) ≈ ( 0,3376 + ĵ0,349 ) +

+ ( 0,22 + ĵ0,966 ) = 0,0576 + ĵ1,315.

Таким образом, действительные и мнимые части равенства примерно одинаковы:

0,56 ≈ 0,5567 и ĵ1,3147 ≈ ĵ1,315.

2. Сравнительная таблица токов

Сравним значения токов, рассчитанные тремя разными способами ( таблица 1 ).

Таблица 1. Сравнительные значения токов

Токи	Метод контурных токов	Метод наложения	Метод двух узлов
I	0,34 + ĵ0,3486	0,34 + ĵ0,347	0,3376 + ĵ0,349
I	0,22 + ĵ0,968	0,22 + ĵ0,97	0,22 + ĵ0,9658
I	0,56 + ĵ1,316	0,56 + ĵ1,335	0,56 + ĵ1,14

Как следует из таблицы, значения токов, найденных разными способами, близки друг к другу.

2. Баланс мощностей

1. Суть баланса состоит в том, что суммарная мощность источников ЭДС равна

суммарной мощности, потребленной всеми ветвями цепи.

Применительно к данной цепи баланс мощностей можно записать в таком виде:

S + S = S' + S' + S' ,

где:

S = Е *Ĭ - мощность источника ЭДС Е ;

S = Е * Ĭ - мощность источника ЭДС Е ;

S' = I * z - мощность в сопротивлении z ;

S' = I' * z - мощность в сопротивлении z ;

S' = I * z - мощность в сопротивлении z .

Примечание:

а ) символом Ĭ обозначают т.н. сопряженное значение тока, у которого по отно-

шению к исходному значения тока мнимая часть имеет обратный знак. Напри-

мер, если ток I = 0,34 + ĵ 0,3486, то сопряженный ток Ĭ = 0,34 – ĵ 0,3486;

б ) символом I обозначают модуль тока

I = I + I ,

где: I - действительная часть комплекса тока;

I - мнимая часть комплекса тока.

Например, если ток I = 0,34 + ĵ 0,3486, то модуль этого тока

I = 0,34 + 0,3486 = 0,486 А.

2. Вначале найдем мощности по отдельности:

S = Е *Ĭ = ( ĵ40 )*( 0,34 – ĵ0,348 ) = … = 13,92 + ĵ13,6;

S = Е * Ĭ = ( - 42,42 + ĵ 42,42 )* ( 0,22 – ĵ0,96 ) = … = 31,38 + ĵ50,05;

S' = I * z = ( 0,34 + 0,3486 )*( 20 – ĵ5 ) = … = 4,73 – ĵ1,185;

S' = I * z = ( 0,22 + 0,96 )*( ĵ35 ) = … = ĵ33,95;

S' = I * z = ( 0,56 + 1,31 )* ( 20 + ĵ15 ) = … = 40,6 + ĵ30,45.

2. проверим баланс, для чего подставим числа в уравнение баланса:

S + S = S' + S' + S' , или в числах: ( 13,92 + ĵ13,6 ) + ( 31,38 + ĵ50,05 ) =

= ( 4,73 – ĵ1,185 ) + ( ĵ33,95 ) + ( 40,6 + ĵ30,45 ), окончательно 45,31 + ĵ63,6 ≈

≈ 45,33 + ĵ 63,215