3. Расчет цепи методом наложения ( суперпозиции )

Напомним, что суть метода состоит в том, что поочередно исключая из схемы все ЭДС, кроме одной, находят в каждой ветви т.н. частичные токи. При этом для расчета этих токов применяют метод свертывания. Результирующий ( истинный ) ток каждой ветви получается как алгебраическая сумма частичных токов.

3.1. Делаем 1-й шаг. Оставляем в схеме на рис. 4 ЭДС Е и исключаем ЭДС Е и Е . Тогда из схемы на рис. 4 получим схему на рис. 5.

Рис. 5. Схема цепи, в которой Е = Е = 0

Как видно из схемы на рис. 5, резисторы R и R соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление

R = (R * R ) / (R + R ) = ( 3,2*24 ) / ( 3,2 + 24 ) = 76,8 / 27,2 = 2,82 Ом.

Теперь схему на рис.5 можно заменить эквивалентной схемой на рис. 6. На послед

ней – последовательная цепь с источником ЭДС Е и резисторами R и R .

Рис. 6. Схема цепи, в которой резисторы R и R заменены эквивалентным R

Применим для такой цепи закон Ома

I = I' = Е / (R + R ) = 130 / ( 2,2 + 2,82 ) = 130 / 5,02 = 25,896 ≈ 25,9 А,

где: I – общий ток схемы на рис. 6, протекающий через источник ЭДС Е ;

I' - первый частичный ток левой ветви.

Чтобы найти частичные токи средней и правой ветвей, вначале найдем падение

напряжения на резисторах R и R , или, что одно и то же, на резисторе R :

U = I' * R = 25,9*2,82 = 73,038 ≈ 73,04 В.

Тогда частичные токи в средней и правой ветвях ( т.е. в резисторах R и R ):

I' = U / R = 73,02 / 3,2 = 22,82 А,

I' = U / R = 73,02 / 24 = 3,04 А.

На рис. 7 обозначим направление и величину найденных частичных токов.

Рис. 7. Карта частичных токов для 1-го шага

Проверим правильность решения первого шага, для чего запишем узловое уравне

ние для узла А:

I' = I' + I' , или числах, 25,9 ≈ 22,82 + 3,04 = 25,86 ( А ).

3.2. Делаем 2-й шаг. Оставляем в схеме на рис. 4 ЭДС Е и исключаем ЭДС Е и Е . Тогда получим схему на рис. 8.

Рис.8. Схема цепи, в которой Е = Е = 0

Как видно из рис.8, резисторы R и R соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление

R = (R *R ) / ( R + R ) = ( 2,2*24 ) / (2,2 +24 ) = 52,8 / 26,2 = 2,01 Ом

Рис. 9. Схема цепи, в которой резисторы R и R заменены эквивалентным R

Теперь схему на рис. 8 можно преобразовать в последовательную схему на рис. 9,

ток в которой ( т.е. частичный ток в средней ветви )

I = I" = Е / (R + R ) = 140 / ( 3,2 + 2,01 ) = 140 / 5,21 = 26,87 А,

где: I – общий ток схемы на рис. 8, протекающий через источник ЭДС Е ;

I'' - второй частичный ток средней ветви.

Напряжения на резисторах R и R , или, что одно и то же, на резисторе R

U = I" * R = 26,87*2,01 = 54 В.

Частичные токи в резисторах левой и правой ветвях ( т.е. в резисторах R и R ):

I" = U / R = 54 / 2,2 = 24,55 А

I" = U / R = 54 / 24 = 2,25 А.

На рис. 10 обозначим направление и величину частичных токов 2-го шага.

Рис. 10. Карта частичных токов ветвей для 2-го шага

Проверим правильность решения второго шага, для чего запишем узловое уравне-

ние для узла А:

I" = I" + I" , или в числах: 26,87 ≈ 24,55 + 2,25 = 26,8 ( А ).

3.3. Делаем 3-й шаг. Оставляем в схеме на рис. 4 ЭДС и исключаем ЭДС Е и Е . Тогда получим схему на рис. 11.

Рис. 11. Схема цепи, в которой Е = Е = 0

Как видно из рис.11, резисторы R и R соединены параллельно, их эквивалентное сопротивление

R = (R *R ) / ( R + R ) = ( 2,2*3,2 ) / (2,2 +3,2 ) = 7,04 / 5,4 = 1,3 Ом

Теперь схему на рис. 11 можно преобразовать в последовательную схему на

рис. 12, ток в которой ( т.е. частичный ток в правой ветви )

I = I''' = Е / (R + R ) = 70 / ( 1,3 + 24 ) = 70 / 25,3 = 2,766 А,

где: I – общий ток схемы на рис. 12, протекающий через источник ЭДС Е ;

I''' - третий частичный ток правой ветви.

Рис. 12. Схема цепи, в которой резисторы R и R заменены эквивалентным R

Напряжения на резисторах R и R , или, что одно и то же, на резисторе R

U = I''' * R = 2,766*1,3 = 3,596 В.

Частичные токи в левой и средней ветвях ( т.е. в резисторах R и R ):

I''' = U / R = 3,596 / 2,2 = 1,636 А

I''' = U / R = 3,6 / 3,2 = 1,125 А.

На рис. 13 обозначим направление и величину частичных токов 3-го шага.

Рис. 10. Карта частичных токов ветвей для 3-го шага

Проверим правильность решения третьего шага, для чего запишем узловое уравнение для узла А:

I''' =I" + I" , или в числах: 2,766 ≈ 1,63 + 1,12 = 2,761 ( А ).

3.4. Для того, чтобы найти истинные значения и направления токов в каждой ветви – левой, средней и правой, надо для каждой ветви найти алгебраическую сумму трех частичных токов.

С этой целью сравниваем величину и направление частичных токов в каждой ветви на рис. 7, 10 и 13.

Для этого можно наложить друг на друга 3 карты частичных токов на рис. 7, 10 и 13 и с их помощью проверить направление 3-х частичных токов в каждой из 3-х ветвей.

Например, в левой ветви первый частичный ток I' = 25,9 А направлен вверх ( рис. 7 ), второй частичный ток I" = 24,55 А направлен вниз ( рис. 10 ) и третий частичный ток I''' = 1,636 А и направлен вниз.

Поэтому истинный ток в левой ветви

I = ( I" + I''' ) - I' = ( 24,55 + 1,636 ) – 25,9 = 0,286 А,

и этот ток направлен сверху вниз.

Этот ток обозначен на рис. 4 пунктирной линией.

Рассуждая аналогично, находим истинные токи в средней ветви I и правой ветви I

I = I" - (I' + I''' ) = 26,87 – ( 22,82 + 1,125 ) = 2,925 А,

и этот ток направлен снизу вверх;

I = ( I' + I" ) - I''' = ( 3,04 + 2,25 ) – 2,766 = 2,524,

и этот ток направлен сверху вниз.

Этот ток обозначен на рис. 4 пунктирной линией.

3.5. проверим правильность расчета при помощи узлового уравнения для узла «А», составленного с учетом направления истинных токов ветвей:

I = I + I , или в числах: 2,925 ≈ 0,286 + 2,524 = 2,81 ( А ).

Небольшое расхождение в числах объясняется погрешностями расчета ( расчетом до третьего знака после запятой и округлениями некоторых чисел ).