4. Расчет цепи методом узлового напряжения ( методом двух узлов )
Метод узлового напряжения имеет ограниченное применение, т.к. он применим для сложных электрических цепей только с двумя узлами. Вместе с тем, этот метод позволяет рассчитать токи ветвей гораздо быстрее и проще, чем при использовании других методов.
Этот метод часто применяется на практике при изучении особенностей параллель
ной работы генераторов постоянного тока, в частности, для объяснения таких режимов, как перевод и распределение нагрузки, перевод одного из генераторов в двигательный режим и др.
Суть метода состоит в том, что вначале находят т.н. узловое напряжение
U =
E
*G
)
/
G
( 1 ) ,
где: E *G - алгебраическая сумма произведений ЭДС каждой ветви на проводимость этой же ветви;
G - арифметическая сумма проводимостей всех ветвей.
При этом, если в какой либо ветви ЭДС отсутствует (E = 0 ), произведение E *G = 0, т.е. вместо этого произведения в числитель выражения ( 1 ) надо подставить «0», но не исключать из знаменателя проводимость G этой же ветви.
Если в цепи есть несколько ЭДС, которые имеют разные направления, в этом случае поступают так:
1. предварительно определяют для каждой ветви значения произведение E *G и находят по отдельности сумму этих произведений для одинаково направленных ЭДС. Таких сумм будет две, т.к. одна группа ЭДС направлена в одну сторону, вторая – в протии
воположную;
2. те ЭДС, которые входят в большую по величине сумму произведений, условно считают положительными, и эту сумму вносят в числитель выражения ( 1 ) со знаком «плюс»;
3. наоборот, те ЭДС, которые входят в меньшую по величине сумму произведений, условно считают отрицательными, и эту сумму вносят в числитель выражения ( 1 ) со знаком «минус»;
4. находят узловое напряжение по выражения ( 1 ). Это напряжение будет положи
тельным, т.к. по условиям пп. 2 и 3, в числитель этого выражения большая по величине сумма произведений E *G внесена со знаком «плюс».
Следовательно, полярность узлового напряжения будет совпадать с полярностью положительных ЭДС. В дальнейшем надо учесть, что полярность узлового напряжения определяет полярность узлов схемы цепи.
После расчета узлового напряжения находят токи каждой ветви из выражения
I = ( E - U )* G ( 2 ).
Если в какой либо ветви ЭДС отсутствует, т.е. E *G = 0, то ток в такой ветви отрицательный
I = ( E - U )* G = ( 0 - U )* G = - U * G < 0.
Такой ток в ветви направлен от положительного узла схемы цепи к отрицательно-
му.
Если же ток положительный, его направление в ветви совпадает с направлением ЭДС ( т.е. от отрицательного полюса ЭДС к положительному ).
Пример расчета
4.1. Проводимости левой, средней и правой ветвей ( рис. 4 )
G = 1 / R = 1 / 2,2 = 0,454 См;
G = 1 / R = 1 / 3,2 = 0,3125 См;
G = 1 / R = 1 / 24 = 0,0416 См.
4.2. Принимаем все 3 тока направленными снизу вверх, найдем узловое напряжение
U = ( Е *G + Е *G + Е *G ) / (G + G + G ) =
= ( 130*0,454 + 140*0,3125 + 70*0,0416 ) / ( 0,454 + 0,3125 + 0,0416 ) =
= ( 59,02 + 43,75 + 2,912 ) / 0,808 = 105,683 / 0,808 = 130,79 В.
4.3. Токи в ветвях
I = ( Е - U ) * G = ( 130 – 130,79 )*0,454 = - 0,358 А;
I = ( Е - U ) * G = ( 140 – 130,79 )*0,3125 = 2,87 А;
I = ( Е - U ) * G = ( 70 – 130,79 )*0,0416 = - 2,52 А.
4.4. Поскольку значения токов I и I получились со знаком «минус», их истинные направления противоположны выбранным ( см. п. 4.2 ). Это означает, что токи I и I направлены сверху вниз.
Проверим правильность расчета этим методом при помощи узлового уравнения, со-
ставленного для узла «А»:
I = I + I , или в числах: 2,87 ≈ 2,52 + 0,358 = 2,898 ( А ).