2.1.4 Пример

Планирование выпуска продукции пошивочным предприятием

Намечается выпуск двух видов костюмов – мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На мужской костюм – 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человеко-дней трудозатрат. Требуется определить оптимальное число костюмов каждого вида, обеспечивающее максимальную прибыль предприятия, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского – 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов и обеспечить прибыль не менее 1400 денежных единиц.

Составим математическую модель задачи.

Введём обозначения:

x₁ и x₂ – число соответственно женских и мужских костюмов.

Прибыль от реализации женских костюмов составляет 10x₁, а от реализации мужских 20x₂, т.е. необходимо максимизировать целевую функцию

F( ) = 10x₁ + 20x₂  max.

Ограничения задачи имеют вид:

x₁  0

x₂  0

x₁ + 3,5x₂  350

2x₁ + 0,5x₂  240

x₁ + x₂  150

10x₁ + 20x₂  1400

x₂  60.

В соответствии с правилами составления задачи, двойственной к исходной, получим:

1. x₂60 -x₂-60

10x₁+20x₂1400, -10x₁-20x₂-1400.

2.

3, 4. G( ) = 350y₁ + 240y₂ + 150y₃ - 60y₄ - 1400y₅  min

5. y₁ + 2y₂ + y₃ - 10y₅  10,

3.5y₁ + 0.5y₂ + y₃ - y₄ - 20y₅  20.

6. y_1,2,3,4,5  0.

Переменные двойственной задачи имеют следующие значения:

y₁ – двойственная оценка ресурса “шерсть”, которая может быть “ценой” шерсти;

y₂ – двойственная оценка ресурса “лавсан”, которая может быть “ценой” лавсана;

y₃ – двойственная оценка ресурса “трудозатраты”, которая может быть “ценой” трудозатрат;

y₄ – двойственная оценка заказа мужских костюмов;

y₅ – двойственная оценка задания по прибыли.

Модель прямой задачи	Модель двойственной задачи
F( ) = 10x1 + 20x2  max x10 x20 x1 + 3,5x2  3 50 2x1 + 0,5x2  240 x1 + x2  150 10x1 + 20x2  1400 x2  60	G( ) = 350y1 + 240y2 +150y3 - 60y4 - 1400y5  min y1 + 2y2 + y3 - 10y5  10 3.5y1 + 0.5y2 + y3 - y4 - 20y5  20 y1 0 y2 0 y3 0 y4 0 y5 0

В результате решения задачи были получены следующие данные:

= (70; 80)

= (4; 0; 6; 0; 0)

F( ) = G( ) = 2300.

Таким образом, максимальная прибыль составляет 2300 денежных единиц при производстве 70 женских и 80 мужских костюмов. Шерсть и трудовые ресурсы использованы полностью; лавсана осталось 60 м; плановые задания перевыполнены по числу костюмов и по прибыли.

Решение двойственной задачи указывает на дефицитность ресурсов «шерсть» (y₁ = 4) и «трудозатраты» (y₃ = 6).

В заключение необходимо сделать важное замечание. В примере мы выяснили экономическое содержание двойственных оценок применительно к условиям примера. Что касается других типов задач, то интерпретация их двойственных оценок может отличаться от приведенной выше. Иногда она настолько неочевидна, что представляет серьезную проблему, особенно в задачах, в которых ограничения имеют различные знаки (, =, ) при неотрицательности правых частей.