2. Оптимизационные модели

Цель работы:

– изучение теоретических сведений по составлению и использованию оптимизационных моделей;

- составление моделей в соответствии с заданиями МУ, нахождение решения с использованием компьютера, проведение анализа полученных результатов.

2.1. Теоретическая часть

2.1.1 Понятие оптимального программирования

Задачи оптимизации возникают в связи с попытками повысить эффективность работы предприятий, имеющих дефицитные ресурсы. Для решения таких задач используется аппарат математического программирования. Термин программирование следует понимать в смысле «поиск наилучших планов», отыскание наилучшего, в некотором смысле, варианта из множества возможных решений.

Для решения задачи, прежде всего, нужно построить адекватную ей математическую модель, т.е. формализовать цели и условия задачи в виде математических функций, уравнений, неравенств.

В общем виде задача математического программирования может быть сформулирована следующим образом.

Требуется найти неотрицательные числа х₁, х₂,…, х_n, удовлетворяющие системе ограничений

g₁(x₁,x₂,…, x_n)  (, ) b₁ 

g₂(x₁,x₂,…, x_n)  (, ) b₂  (1)

……… 

g_m(x₁,x₂,…, x_n)  (, ) b_m 

для которых функция Z = F(x₁, x₂,…,x_n) (2)

достигает наибольшего (или наименьшего) значения. Функция (2) называется целевой функцией или функцией цели.

Следует отметить, что задача минимизации может быть сведена к задаче максимизации путем умножения коэффициентов целевой функции на -1.

Процесс решения задачи продолжается до получения оптимального плана либо до установления факта отсутствия решения.

2.1.2 Линейное программирование

Линейное программирование (ЛП) – частный раздел математического программирования. В задаче линейного программирования требуется найти экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции при линейных ограничениях.

Основная проблема, которая решается с помощью линейного программирования (ЛП) – как наилучшим образом распределить ограниченные ресурсы для достижения поставленной цели, такой как максимизация прибыли или минимизация применяемых ресурсов.

Модель линейного программирования используется при решении таких управленческих задач, как определение ассортимента (номенклатуры) продукции, замещение и сочетание исходных материалов, производственное календарное планирование. Эти задачи наиболее часто встречаются в краткосрочных моделях распределения ресурсов.

В модели линейного программирования предполагается, что имеется набор ресурсов, и эти ресурсы обеспечивают определенный уровень реальных затрат. Основная цель руководителя заключается в выборе видов товаров и услуг, и в каком количестве производить (или продавать).

Введение ограничений на производственные мощности или другие факторы изменяет возможности анализа соотношения затраты-объем-прибыль. Без существования производственных ограничений целесообразно направлять усилия на увеличение выпуска и/или продажи продуктов с наибольшей маржинальной прибылью. Но если существуют ограничения производства, продукты с наибольшей маржинальной прибылью могут оказаться не самыми выгодными.

Рассмотрим вопрос выбора ассортимента продукции при наличии лимитирующего фактора. При формировании производственной программы в условиях ограниченных производственных мощностей, например, человеко-часов или машино-часов, часто приходится выбирать определенные виды продукции (услуги, заказы), которые приносят наибольшую прибыль. Для определения, какой продукт или продукты производить (продавать) с целью максимизации прибыли, полезно использовать маржинальный подход. Сначала определяется маржинальная прибыль для каждого продукта, затем рассчитывается маржинальная прибыль на единицу ограниченного ресурса.

Пусть компания выпускает два вида продукции – X и Y. Известны следующие данные:

Таблица 1

Показатели	Продукт X	Продукт Y
Цена за единицу, руб.	20	30
Переменные расходы на единицу, руб.	14	18
Маржинальная прибыль на единицу, руб.	6	12
Уровень маржинальной прибыли, %*	30	40

* Примечание: Рассчитывается как отношение маржинальной прибыли к выручке от реализации (в данном случае в расчете на единицу – как отношение удельной маржинальной прибыли к цене за единицу).

Из таблицы 1 видно, что продукт Y приносит большую маржинальную прибыль, следовательно, его должны запустить в производство. Если известно, что производственная мощность ограничена 1000 машино-часами, и что за один час можно произвести 4 единицы продукта X или одну единицу продукта Y, необходимо продолжить анализ с учетом информации о лимитирующем факторе.

Таблица 2

Показатели	Продукт X	Продукт Y
Количество единиц продукции, производимых за час	4	1
Маржинальная прибыль на единицу, руб. (из таблицы 1)	6	12
Маржинальная прибыль за 1 час, руб.	24	12
Маржинальная прибыль за 1000 часов, руб.	24000	12000

Из таблицы 2 следует, что целесообразно выбрать продукт X, так как при его производстве достигается большая маржинальная прибыль на единицу лимитирующего фактора. Критерием максимизации прибыли компании в условиях ограниченных ресурсов является наибольшая маржинальная прибыль на единицу этих ресурсов. На практике обычно существует более чем одно ограничение. Следовательно, проблема заключается в максимизации суммарной маржинальной прибыли при данном множестве ограничений. Модель ЛП используется при решении проблем, где предположение о линейности является приемлемым.

Применяя модель ЛП, предполагаем, что только один фактор – объём выпуска – вызывает изменение в суммарных затратах на продукцию. Все прочие затраты предполагаются фиксированными. Для многих краткосрочных решений это предположение приемлемо.

Пусть два изделия фирмы обрабатываются на одном станке, выпуск продукции ограничивается возможными часами работы станка (машино-часами), и предел времени на контроль и тестирование продукции составляет 12 часов. Характеристики продуктов приведены в таблице 3.

Таблица 3

Показатели	Продукт 1	Продукт 2
Маржинальная прибыль, ДЕ	6	8
Машино-часы на единицу, час	3	6
Количество времени, необходимое на тестирование 1 продукции, час	2	2

Обозначим X1 – количество произведенных единиц продукта 1, X2 – количество произведенных единиц продукта 2. Модель линейного программирования:

Максимизировать маржинальную прибыль:

6  X1 + 8  X2

при удовлетворении условий:

3  X1 + 6  X2  24000

2  X1 + 2  X2  12000

X1, X2  0