1.1 Кинема́тика точки  — раздел кинематики, изучающий математическое описание движения материальных точек. Основной задачей кинематики является описание движения при помощи математического аппарата без выяснения причин, вызывающих это движение. Движение любого объекта в кинематике изучают по отношению к некоторой системе отсчета, включающей: Тело отсчета; Систему измерения положения тела в пространстве (систему координат); Прибор для измерения времени (Часы).

Механическое движение как простейшая форма движения материи формы движения взаимосвязаны между собой и более простые входят в более сложные, образуя качественно иную форму движения. Каждая из этих форм включает в себя бесконечное множество видов движения. Даже простейшая механическая включает в себя такие виды движения, как равномерно прямолинейное, равномерно ускоренное (замедленное), криволинейное, хаотическое и др. Наиболее сложной формой движения является социальная, т.к. материальный носитель есть самый сложный вид материи социальный. Следует подчеркнуть, что различные формы движения способны переходить друг в друга в соответствии с законами сохранения материи и движения. Это есть проявление свойства неуничтожимости и несотворимости материи и движения. Мерой движения материи является энергия, мерой покоя, инертности масса.

Системы отсчета Физической системой отсчета называется система отсчета с физической точкой отсчета. В физической системе отсчета может быть выбрана любая система координат. Предполагается также наличие необходимого набора эталонов (и инструментов) для определения ("наблюдателем") координат, времени и всех других физических величин, в терминах которых описываются явления. Виртуальной системой отсчета называется система отсчета с виртуальной точкой отсчета. Все остальное — как в физической системе отсчета. Инерциальной системой отсчета я называю систему отсчета, пространство которой относительно точки отсчета является однородным и изотропным. Движение с постоянной скоростью не нарушает условия однородности и изотропности, поэтому система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно другой инерциальной системы, также является инерциальной. Системы отсчета, движущиеся относительно любой инерциальной системы отсчета с ускорением, являются неинерциальными.

Материальная точка  — тело, размерами которого по сравнению с характерными расстояниями данной задачи можно пренебречь. Так Землю можно считать Материальной Точкой (М. Т.) при изучении её движения вокруг Солнца. При поступательном движении в ряде случаев при помощи понятия М. Т. можно описывать и изменение положения более крупных объектов.

Абсолю́тно твёрдое те́ло — второй опорный объект механики наряду с материальной точкой. Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек. Абсолютно твёрдое тело — модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри. Механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. Другими словами, динамика абсолютно твердого тела при неизменных внешних силах зависит от распределения его масс только через полную массу, центр масс и тензор инерции, в остальном детали распределения масс абсолютно твердого тела никак не скажется на его движении.

Уравнения движения

Путь — длина участка траектории материальной точки, пройденного ею за определённое время.

Перемещение в классической механике — направленный отрезок, характеризующий изменение положения материальной точки (тела) в пространстве. Обладает свойствами вектора, поэтому является векторной величиной. Обладает свойством аддитивности. Длина отрезка — это модуль перемещения, измеряется в метрах (СИ).Перемещением также называют процесс изменения положения.

Скорость – это векторная физическая величина, введенная для определения быстроты движения и его направления в данный момент времени.  Линейная скорость

Составляющая ускорения, направленная вдоль скорости, называется тангенциальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по модулю.

Составляющая ускорения, направленная к центру кривизны траектории, т.е. перпендикулярно (нормально) скорости, называется нормальным ускорением . Она характеризует изменение скорости по направлению.

Здесь R - радиус кривизны траектории в данной точке. Тангенциальное и нормальное ускорение взаимноперпендикулярны, поэтому модуль полного ускорения

1.2 Кинема́тика твёрдого тела (от др.-греч. движение) — раздел кинематики, изучающий движение абсолютно твёрдого тела, не вдаваясь в вызывающие его причины. Движение тела может быть как поступательным так и вращательным. В этом случае тело представляется в виде системы жестко связанных между собой материальных точек. При поступательном движение любая прямая, проведенная в теле , перемещается параллельно самой се­бе. По форме траектории поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным. При поступательном движении все точки твердого тела за один и тот же промежуток времени совершают равные по величине и направлению перемещения Следовательно, скорости и ускорения всех точек тела в любой момент времени также одинаковы. Для описания поступательного движения достаточно определить движение одной точки.

Вращательным движением твёрдого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все точки тела движутся _по окружностям, центры которых лежат на одной прямой (ось вращения).Ось вращения может проходить через тело или лежать за его пределами. Если ось вращения проходит сквозь тело, то точки, лежа­щие на оси, при вращении тела остаются в покое. Точки твёрдого тела, находящиеся на разных расстояниях от оси вращения за одинаковые промежутки времени проходят различные расстояния и следовательно имеют различные линейные скорости .

угловая скорость - ω. По аналогии с линейной скоростью вводят понятия средней и мгновенной угловой скорости:

  Угловая скорость - величина векторная.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует среднее и мгновенное

угловое ускорение.

Вектор и может совпадать с вектором , и быть про­тивоположным ему

Угловое перемещение , угловая скорость и угловое ускорение для различных моментов времени t определяется по формулам :

где - угловая скорость в данный момент времени t ; - начальная угловая скорость, при t=0.

В системе СИ угловое перемещение измеряется в радианах (рад.), угловая скорость - в (рад /с),

угловое ускорение - в (рад /с²).

1.3Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела. Основная задача динамики материальной точки состоит в том, чтобы найти закон движения материальной точки, зная приложенные к ней силы, или наоборот, по известному закону движения определить силы, действующие на эту точку. Обратная задача динамики: по заданным силам определить характер движения тела.

В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат уравнения основного закона динамики поступательного движения системы имеют вид: Fx = dK/dt, Fy = dK/dt, Fz = dK/dt или macx = Fx , macy = Fy , macz = Fz 2. Простейшие случаи поступательного движения твердого тела. а) Движение по инерции (F = 0): mv = const, a=0. б) Движение под действием постоянной силы: d/dt (mv) = F = const, mv = Ft + mv0, где mv0 - количество движения тела в начальный момент времени t = 0. в) Движение под действием переменной силы. Изменение количества движения тела за промежуток времени от t1 до t2 равно mv2 - mv1 = Fcp (t2 - t1) где Fcp - среднее значение вектора силы в интервале времени времени от t1 до t2.

Законы Ньютона

1-ый Инерциальными системами отсчета называются такие системы, в которых свободные (т.е. не участвующие во взаимодействиях с другими телами) тела движутся без ускорения (т.е. равномерно и прямолинейно) или покоятся (состояние покоя, вообще говоря, следует рассматривать как частный случай равномерного движения с нулевой скоростью).

2-ой скорость изменения импульса в материальной точке равна равнодействующей действующих всех сил на точку или в форме.

3-ий Силы, с которыми две материальные точки действуют друг на друга равны о величине, направлены в разные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки и являются силами одной природы

Внешние и внутренние силы

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы.

Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Будем обозначать внешние силы символом - , а внутренние - .

Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил системы равняется нулю. по третьему закону динамики любые две точки системы действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и , сумма которых равна нулю. Так как аналогичный результат имеет место для любой пары точек системы, то

рисунок 3-го закона

2. Сумма моментов (главный момент) всех внутренних сил системы относительно любого центра или оси равняется нулю. если взять произвольный центр О, то . Аналогичный результат получится при вычислении моментов относительно оси. Следовательно, и для всей системы будет:

или .

Из доказанных свойств не следует однако, что внутренние силы взаимно уравновешиваются и не влияют на движение системы, так как эти силы приложены к разным материальным точкам или телам и могут вызывать взаимные перемещения этих точек или тел. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собою абсолютно твердое тело.

И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

. Си кг/м*с\

 Закон сохранения импульса: в замкнутой системе тел геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Закон сохранения импульса для упругого взаимодействия:

Закон сохранения импульса для неупругого взаимодействия:

где: m₁, m₂ - массы соударяющихся тел;

v₁, v₂ - скорости тел до столкновения;

u1, u2 - скорости тел после столкновения.

 Однако для каждой из этих частиц Второй закон Ньютона

Связь закона сохранения импульса с однородностью пространства

Однородность пространства, т. е. симметрия по отношению к преобразованию сдвига , приводит к закону сохранения импульса. Этот закон также соблюдается для изолированных систем. Вследствие однородности пространства и времени движение свободного тела (тело, настолько удаленное от всех окружающих тел, что можно пренебречь его взаимодействием с ними) будет равномерным, т. е. за равные промежутки времени тело должно проходить равные расстояния; оно будет к тому же и прямолинейным. Такое движение свободных тел называют движением по инерции. Движение тел по инерции есть проявление своеобразной симметрии пространства и времени, их однородности.

Центр масс системы

геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого.Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом:

где

 — радиус-вектор центра масс,

 — радиус-вектор i-й точки системы,

 — масса i-й точки.

Уравнение движения центра масс

,

(4.11)

     где - результирующая всех внешних сил, действующих на систему. Это и есть уравнение движения центра масс системы - одно из важнейших уравнений механики. В соответствии с этим уравнением, при движении любой системы частиц ее центр инерции движется так, как если бы вся масса системы была сосредоточена в этой точке и к ней были бы приложены все внешние силы, действующие на систему. При этом ускорение центра инерции совершенно не зависит от точек приложения внешних сил.

     Далее следует, что если то а значит, . В инерциальной системе отсчета такой случай реализуется для замкнутой системы. Кроме того, если , то и импульс системы .

1.4 Динамика вращательного движения твердого тела Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.13).

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t, т.е.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол , то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при найдем, что

или .

Момент инерции— скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

•  — масса малого элемента объёма тела ,

•  — плотность,

•  — расстояние от элемента до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.                                             1.77        N = r·F·sinα = F·             1.78. Момент силы. относительно точки О             ;  N = R·F·sinα.

основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид: Вектор всегда направлен вдоль оси вращения, а - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае получаем соответственно и момент импульса относительно оси сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: где  — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта,  — импульс частицы. закон сохранения импульса в замкнутой системе, p=p1+p2=const. который формулируют так: полный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел этой системы между собой. Иными словами, внутренние силы не могут изменить полного импульса системы ни по модулю, ни по направлению. 1.5 Работа и энергия Эне́ргия — скалярная физическая величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие. Введение понятия энергии удобно тем, что в случае, если физическая система является замкнутой, то её энергия сохраняется во времени. Работа силы работа , выполняемая силой при малом перемещении тела, определяется следующим образом , (52) Или , - угол между направлениями силы и перемещения. Если сила перпендикулярна перемещению , т.е. , то работа силой не совершается, т.к. . Полная работа на пути . (53) Если тело движется прямолинейно и действующая на тело сила постоянна, то есть и не меняются, то работа силы на пути равна . (54) Единица измерения работы Дж (Джоуль).

Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той иди иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.

Механическая работа—это физическая величина, являющаяся скалярной количественной мерой действия силы или сил на тело или систему,зависящая от численной величины и направления силы (сил) и от перемещения точки (точек) тела или системы.

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. СИ — Джоуль. Физический смысл работы Работа всех сил, действующих на частицу, идёт на приращение кинетической энергии частицы:

,

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

где:  — масса тела  — скорость центра масс тела

 — момент инерции тела  — угловая скорость тела.

Поле как форма материи, осуществляющая силовое взаимодействие между телами- поля характеризуются тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении м.т. из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них–консервативными.

Потенциальная энергия  — скалярная физическая величина, характеризующая способность некоего тела (или материальной точки) совершать работу за счет его нахождения в поле действия сил. где  — масса тела,  — ускорение свободного падения,  — высота положения центра масс тела над произвольно выбранным нулевым уровнем.

Диссипация энергии -переход части энергии упорядоченных процессов (кинетической энергии движущегося тела, энергии электрического тока и т. п.) в энергию неупорядоченных процессов, в конечном счёте — в теплоту. Если работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения м.т. из одной точки пространства в другую, то такие тела называются-Диссипативными(рассеивающими);их примером является сила трения.

Закон сохранения и превращения энергии-сумма кинетической и потенциальной энергии тел,составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой силами тяготения и силами упругости, остается постоянной.

1.6 Механические колебания- называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Периодическими наз. Колебания или значение величин, изменяющихся в процессе колебания повторяются через равные промежутки времени, через который повторяются определенные состояния системы называются периодом (Т, (с))

Уравнение гармонических колебаний. 

 

Кинематика колебательного движения.

движение точки по окружности является периодическим процессом. материальная точка C движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса A. При этом угловая координата точки будет изменяться по линейному закону , (1)

где φ₀ - начальная координата точки. Не смотря на то, что угол поворота монотонно возрастает, через равные промежутки времени, равные периоду вращения точка возвращается в исходное положение, в котором ее кинематические характеристики (скорость, ускорение) принимают исходные значения. Если радиус-вектор точки, векторы ее скорости и ускорения изменяются по периодическому закону, то и их проекции также изменяются по периодическим законам. Иными словами, движение проекции точки на любую из осей координат является колебательным движением вдоль прямой.

закон изменения координаты точки от времени .

Движение, при котором координата точки изменяется по закону косинуса (или синуса) называется гармоническим колебанием

что скорость точки при гармоническом колебании зависит от времени по закону

. Величина равна максимальной скорости движения точки при гармонических колебаниях. Отметим также, что при гармонических колебаниях скорость точки также изменяется по гармоническому закону.

зависимость ускорения от времени при гармонических колебаниях имеет вид

.

мгновенная скорость является первой производной координаты по времени, поэтому функция (7) является первой производной от функции (3).

.

Динамика колебательного движения 

Физические величины, характерезующие колебательное движение:

1. х - координата колеблющегося тела (смещение) (м);

  хm - амплитуда колебаний (наибольшее смещение) (м);

2. Т - период колебаний - время 1 колебания (с), Т=t/n, T=1/v;

3. v - частота колебаний - число колбаний за 1 с (Гц), v=n/t.

Циклическая частота - частота колебаний за  с.

циклическая (круговая) частота (рад/с)

уравнение движения колеблющегося тела

Гармонические колебания - колебания происходящие по закону sin или cos.

уравнения гармонических колебаний

Свойства cos и sin: вторая производная этих функций пропорциональна самим этим функциям взятым с противоположным знаком.

фаза колебаний (рад) показывает какая доля периода прошла от начала колебания.

период нитяного маятника

l - длина нити

период пружинного маятника

k - жёсткость пружины (Н/м)

Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженное в радианах (t=T/4,  ).

Пружинный маятник—это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид   

Физический маятник—это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О,не совпадающую с центром масс С тела  

Математический маятник—это идеализированная система,состоящая из материальной точки массой m,которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити,и которая колеблется под действием силы тяжести.

Энергия гармонического колебания. Явление периодического изменения какой-либо величины,при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса иликосинуса.Например,гармонически колеблется величина, изменяющаяся во времени следующим образом:

Затухающие колебания-постепенное ослабление колебаний с течением времени,обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Вынужденные колебания—колебания,происходящие под воздействием внешних сил,меняющихся во времени.

Резонанс—явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний,которое наступает при приближении частоты внешнего воздействия к некоторым значениям (резонансным частотам),определяемым свойствами системы.