1.11.3.1. Свойства степенных рядов
Рассмотрим степенной ряд
с0 + с1 х + с2 х2 + ... + сn xn + ... , (10.1)
имеющий радиус сходимости R>0 (R может равняться ). Тогда каждому значению х из интервала сходимости соответствует некоторая сумма ряда. Следовательно, сумма степенного ряда есть функция от х на интервале сходимости. Обозначим ее через S(x). Тогда можно записать равенство
S(x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn + ... , (10.2)
понимая его в том смысле, что сумма ряда в каждой точке х из интервала сходимости равна значению функции S(x) в этой точке. В этом же смысле будем говорить, что ряд (10.1) сходится к функции S(x) на интервале сходимости. Вне интервала сходимости равенство (10.2) не имеет смысла.
Пример.
Найти сумму степенного ряда
1 - х + х2 - ... + (-1)n xn + ... .
Это ряд, составленный из членов
геометрической прогрессии, у которой
b1=1, q= -x. Следовательно, его сумма
есть функция
.
Ряд сходится, если |x|<1. Поэтому равенство
справедливо лишь для значений х(-1; 1), хотя функция определена для всех значений х, кроме х= -1.
Можно доказать, что сумма степенного ряда S(x) непрерывна и дифференцируема на любом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.
Равенство (10.2), справедливое в интервале сходимости степенного ряда, называют разложением S(x) в степенной ряд.
Для степенных рядов справедливы следующие утверждения:
Теорема 1.
Степенной ряд в интервале его сходимости можно почленно дифференцировать неограниченное число раз, причем получающиеся при этом степенные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд, а суммы их соответственно равны S`(x), S``(x), ... , S(n)(x).
Теорема 2.
Степенной ряд можно неограниченное
число раз почленно интегрировать в
пределах от 0 до х, если х(-R;
R), причем получающиеся при этом степенные
ряды имеют тот же радиус сходимости,
что и исходный ряд, а суммы их соответственно
равны
.
1.11.3.2. Разложение функций в степенные ряды
Пусть дана функция f(x), которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде
f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ... . (11.1)
Задача состоит в определении коэффициентов an (n=0, 1, 2, ...) ряда (11.1). Для этого продифференцируем равенство (11.1) почленно, последовательно получаем:
(11.2)
Полагая в этих равенствах (11.2) х=0, найдем
f(0) = a0, f`(0) = a1, f``(0) = 2! a2, f```(0) = 3! a3, ... ,
f(n)(0) = 1 2 3 ... (n-2) (n-1) n an=n! an.
Тогда
.
Подставляя значения найденных коэффициентов an в равенство (11.2), получим
(11.3)
Это разложение функции f(x) в ряд называется рядом Маклорена.
Примеры.
1. Разложить в ряд Маклорена функцию ех.
Найдем производные (ех)(n) = ex, поэтому при х=0 имеем f(0) = f`(0) = ... = f(n)(0) = ... = 1. Подставляя эти значения в формулу (11.3), получим искомое разложение
(11.4)
Этот ряд сходится на всей числовой прямой, и R=.
2. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = sin x.
f(x) = sin x, f`(x) = cos x, f``(x) = - sin x, f```(x) = -cos x, fIV(x) = sin x.
Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при х=0:
f(0)=0, f`(0)=1, f``(0)=0, f```(0)= -1, fIV(0)=0, ... .
Поэтому ряд Маклорена для функции f(x) = sin x имеет вид
. (11.5)
Аналогично
.
Можно доказать, что ряды (11.5) и (11.6) сходятся на всей числовой прямой.
