1.11.3. Функциональные ряды. Область сходимости. Степенные ряды

Функциональным рядом называется выражение

U₁(x) + U₂(x) + U₃(x) + ... + U_n(x) + ... ,

члены которого U₁(x), U₂(x), ... , U_n(x), ... являются функциями от х.

Давая х числовое значение х₀, мы получаем числовой ряд

U₁(x₀) + U₂(x₀) + U₃(x₀) + ... + U_n(x₀) + ... ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Множество тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости. Ясно, что в области сходимости сумма функционального ряда является некоторой функцией от х. Обозначим ее через S(x).

Специальный класс функциональных рядов составляют так называемые степенные ряды вида

с₀ + с₁ х + с₂ х² + с₃ х³ + ... + с_n xⁿ + ... , (9.1)

где с₀, с₁, с₂, ... , с_n, ... - последовательность действительных чисел, коэффициенты ряда.

Выясним, какой вид имеет “область сходимости” степенного ряда,то есть множество {x} тех значений переменной, для которых ряд (9.1) сходится.

Теорема Абеля.

Если степенной ряд (9.1) сходится в точке х₀  0, то он сходится, и притом абсолютно, в интервале (- |x₀|, |x₀| ), то есть при всех значениях х, удовлетворяющих условию |x|<|x₀|.

Доказательство.

Заметим, что вследствие сходимости ряда его общий член стремится к нулю: ; поэтому абсолютные величины членов этого ряда, начиная с некоторого n=N, меньше любого наперед заданного числа >0. Так как имеется конечное число членов ряда с номерами, меньшими N, то абсолютные величины этих членов ограничены некоторым числов М (в качестве М можно взять максимальную абсолютную величину членов ряда с этими номерами или , если оно больше). Следовательно, абсолютные величины всех членов ряда не превосходят числа М.

. (9.2)

Представим ряд (9.1) в виде

и составим ряд из абсолютных величин его членов:

(9.3)

Сравним его с рядом, составленным из членов геометрической прогрессии

. (9.4)

Если |x|<|x₀|, то для этого ряда , а поэтому он сходится. Так как при любом n имеют места неравенства (9.2), то члены ряда (9.3) не превосходят соответсвующих членов ряда (9.4). Члены этих рядов положительны, и, значит, в силу признака сравнения ряд (9.3) также сходится. Следовательно, и ряд (9.1) сходится, и притом абсолютно, при любом |x|<|x₀|.

Теорема доказана.

Следствие.

Если степенной ряд расходится при некотором значении х = х₁, то он расходится и при всех значениях |x|>|x₁|.

Любой степенной ряд сходится при значении х=0. Есть степенные ряды, которые сходятся только при х=0 и расходятся при остальных значениях х. Этот случай может быть проиллюстрирован рядом

1 + х + 2² х² + ... + nⁿ xⁿ + ... .

Действительно, если х фиксировано и х  0, то, начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |nⁿ xⁿ|>1, означающее, что общий член ряда не стремится к нулю.

Область сходимости может состоять из всех точек оси Ох, другими словами, ряд может сходится при всех х.

Пример.

Рассмотрим ряд .

Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет . Так как и т. д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при любом х ряд сходится.

Область сходимости ряда может состоять более, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости.

Например, ряд 1 + х + х² + ... + хⁿ + ... , представляющий геометрическую прогрессию со знаменателем х, сходится при |x|<1 и расходится при |x|1.

Из теоремы Абеля и ее следствия получаем, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат.

Таким образом, можно сказать, что для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число R, что для всех х, по модулю меньших R (|x|<R), ряд абсолютно сходится, а для всех х, по модулю больших R (|x|>R), ряд расходится.

Что касается значений х = R и х = - R, то здесь могут быть различные возможности: ряд может сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной. При этом ряд может сходиться как абсолютно, так и условно.

Определение.

Радиусом сходимости степенного ряда (9.1) называется такое число R, что для всех х, |x|<R, степенной ряд сходится, а для всех х ,|x|>R, расходится. Интервал (-R, R) называется интервалом сходимости.

Условимся для рядов, расходящихся при всех х, кроме х=0, считать R=0, а для рядов, сходящихся при всех х, считать R=.

Теорема.

Если все коэффициенты степенного ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля, то его радиус сходимости равен пределу при n отношения абсолютных величин коэффициентов общего и следующего за ним членов ряда.

Доказательство.

Составим ряд из абсолютных величин членов ряда (9.1)

|c₀| + |c₁ x| + |c₂ x²| + ... + |c_n xⁿ| + ... . (9.5)

Найдем отношение для этого ряда:

,

а затем предел его при n :

.

Здесь множитель |x| вынесен за знак предела, как не зависящий от n, и введено обозначение

, (9.6)

если этот предел существует и не равен нулю. Согласно признаку Даламбера, ряд (9.5) сходится, если , откуда |x|<R. Отсюда следует, что ряд (9.1) сходится, и притом абсолютно, при значениях |x|<R. Согласно тому же признаку Даламбера, ряд (9.5) расходится, если , или |x|>R. Однако в этом случае из признака Даламбера следует, что члены ряда (9.5) не стремятся к нулю. Тогда при n не стремятся к нулю и члены ряда (9.1), а потому и он расходится при значениях |x|>R. Следовательно, согласно определению, число R - радиус сходимости степенного ряда (9.1). Из соотношения (9.6) получим

, т. е. . (9.7)

Приведем примеры:

1⁰ Найдем радиус сходимости ряда .

.

2⁰ Найти область сходимости степенного ряда

.

Найдем отношение

.

, т. е. ряд сходится только при х=0 и расходится при остальных значениях х.

3⁰ Найти область сходимости степенного ряда:

.

Здесь , т. е. .

.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При х=1 имеем ряд , он сходится по теореме Лейбница.

При х=-1 имеем ряд , который расходится как произведение расходящегося гармонического ряда на -1. Следовательно, областью сходимости служит полуинтервал (-1; 1].

4⁰ Найти область сходимости степенного ряда

,

Найдем радиус сходимости ряда

.

Исследуем сходимость ряда при значениях х= 3. Подставив их в в данный ряд, соответственно получим 1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 + ... ;

1 - 1 + 1 - ... + (-1)ⁿ + ... . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости (их общие члены не стремятся к нулю при n). На обоих концах интервала сходимости данный ряд расходится, а область его сходимости (-3; 3).

Формула радиуса сходимости степенного ряда получена в предположении, что все коэффиценты членов ряда, начиная с некоторого, отличны от нуля. Применение формулы (9.7) допустимо только в этих случаях. Если это условие нарушается, то радиус сходимости степенного ряда следует искать или с помощью признаков Даламбера, Коши, или же сделав замену переменной, преобразованием ряда к виду, в котором указанное условие выполняется.