7 Характеристика формы распределения Теоретические положения
Наиболее распространенными для анализа кривой нормального распределения являются показатели асимметрии и эксцесса.
Асимметрия характеризует симметричность кривой нормального распределения относительно средней арифметической и рассчитывается по формуле
где
µ
– центральный момент третьего порядка,
который определяется по формуле
.
При сравнении нескольких рядов по их симметричности можно воспользоваться формулами:
или
Оценка существенности асимметрии проводится с помощью среднеквадратической ошибки.
,
где n – число наблюдений.
В
случае
,
асимметрия существенна.
Показатель эксцесса отражает форму вершины кривой нормального распределения и рассчитывается по формуле
где
µ
–
центральный момент четвертого порядка,
который определяется по формуле
.
Средняя квадратическая ошибка эксцесса рассчитывается по формуле
.
Для проверки гипотезы необходимо определить теоретические частоты по формуле плотности нормального распределения
.
Для удобства расчета теоретических частот обозначим:
через коэффициент
доверия –
через функцию
–
.
Для характеристики
состоятельности гипотезы о принадлежности
кривой типу кривых нормального
распределения определяем критерий ХИ
–
квадрат «
»
по формуле
.
Расчетное значение критерия сравнивается с табличным, если оно меньше или равно табличному значению, значит, гипотеза о принадлежности кривой нормальному распределению верна.
При отсутствии табличного значения можно оценить гипотезу по критерию Романовского
,
где m – число групп.
Если С > 3,то гипотеза о принадлежности кривой нормальному распределению верна.
Пример. Определить параметры кривой нормального распределения
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
5 |
5 |
-34,2959 |
65,1605 |
2 |
6 |
12 |
24 |
-4,374 |
3,9366 |
3 |
10 |
30 |
90 |
0,01 |
0,001 |
4 |
5 |
20 |
80 |
6,655 |
7,3205 |
5 |
4 |
20 |
100 |
37,044 |
77,7924 |
∑ |
30 |
87 |
299 |
5,0291 |
154,211 |
Определяем среднюю арифметическую
Среднеквадратическое отклонение определяется по формуле
.
Центральный эмпирический момент третьего порядка определяем по формуле
.
Т.к. асимметрия > 0, то кривая имеет правостороннюю асимметрию по отношению к средней арифметической.
.
Так как отношение коэффициента асимметрии по модулю к средней квадратической ошибке меньше 3, то асимметрия не существенна, и ее наличие обусловливается влиянием случайных факторов (0,087 / 0,17 = 0,512 < 3).
Так как
– 0,89 < 0,
то вершина плотности распределения
является плоской.
Соответствие данного распределения нормальному проверяем по критерию хи – квадрат (Х2)
.
Для расчета критерия хи – квадрат необходимо определить теоретические частоты по формуле кривой нормального распределения
|
|
|
|
fтеор |
|
1 |
5 |
–1,52 |
0,125998 |
3 |
1,33 |
2 |
6 |
–0,72 |
0,308667 |
8 |
0,5 |
3 |
10 |
0,08 |
0,397957 |
10 |
0 |
4 |
5 |
0,88 |
0,271582 |
7 |
0,57 |
5 |
4 |
1,68 |
0,097540 |
2 |
2 |
|
30 |
– |
– |
30 |
4,4 |
Теоретические частоты, исходя из функции плотности распределения, определяются по формуле
.
Если суммы теоретических и эмпирических частот равны, то расчеты верны. Теоретические частоты наносятся на график эмпирических частот.
Проверим соответствие кривой типу кривых нормального распределения по критерию «Романовского»
.
Так как расчетное значение критерия «Романовского» меньше 3, то кривая не соответствует типу кривых нормального распределения.