8.2. Механический момент, действующий на контур с током, помещённый во внешнее магнитное поле.

(Демонстрация: виток с током в поле постоянного магнита)

На контур с магнитным моментом Р, помещённый во внешнее магнитное поле с индукцией В, действует механический вращающий момент М: _ _ _

М = [Р·B]

_ _ _ _ _

Численное значение механического момента: |М|=|Р|·|В|·Sin(РˆВ)

NB! Если угол между Р и В составляет 90°, то Sin(РˆВ)=1, и магнитный момент принимает максимально возможное значение, равное Мmax = Р·B. Именно из этого соотношения в большинстве учебников для средней школы выводится определение индукции магнитного поля:

Мmax

В = --------------

Ι·S

NB! Отмечаем ещё раз особенность магнитных взаимодействий.

Они определяются, наряду с другими характеристиками,

ещё и ориентацией взаимодействующих элементов.

Этого в ранее изученных центральных гравитационном и

электростатическом взаимодействиях мы не наблюдали.

В качестве домашнего задания предлагаются задачи №№ 13.134, 13.135, 13.136, 13.137, 13.142, 13.143 из сборника «3800 задач по физике для школьников и поступающих в ВУЗы», Москва, издательский дом «Дрофа», 2000.

9. Взаимодействие магнитного поля движущегося заряда и внешнего магнитного поля. Сила лоренца.

_ _ _

Det: Fл = q·[ υ ·B]

Очевидный интерес представляют как частный случай влёта частицы перпендикулярно к силовым линиям магнитного поля, так и общий случай влёта частицы под произвольным углом. Начнём с рассмотрения более лёгкого случая. Пусть угол между векторами υ и B равен 90°. Тогда движение частицы происходит в одной плоскости, поскольку в любой момент времени векторы υ и F представляют собой компланарную систему векторов, лежащих в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля.

Ускорение ā,

с одной стороны (по ΙΙ закону Ньютона)

_ _ _

Fл q·[ υ ·B] _

ā = ---------- = ------------, и мы видим, что вектор ā ┴ υ,

m m

что означает, что ускорение ā является центростремительным.

С другой стороны, из курса механики нам известно, что

(υ ┴)²

ā = ----------, и легко, приравняв правые части

R обоих уравнений, получить

υ ²·Sin²α q· υ ·B·Sinα

------------ = ---------------- , откуда получим

R m

m· υ ·Sinα

R = --------------------- - радиус окружности – траектории

q·B заряженной частицы в случае её

перпендикулярного влёта по

отношению к силовым линиям поля.

Рассчитываем период обращения частицы:

2π·R 2π· m· υ ·Sinα 2π·m

Т = -------------- = ------------------- = -------------

υ ┴ q·B·υ·Sinα q·B

Неплохо обсудить с учащимися вопрос: почему период обращения частицы не зависит от её скорости?

Частота обращения также представляет определённый интерес:

в этом же учебном году предстоит знакомство с радиолокацией, поэтому понятие о СВЧ-технике (например, магнетроне), реализующей успешную работу РЛС, для заинтересованных учащихся кажется нелишним.

1

Т.к. ν = -------, то получаем T

q·B

ν = --------------

2π·m

Чтобы учащиеся имели представление о техническом применении силы Лоренца, следует, наряду с типовым примером телевизионной кинескопической системы с магнитным управлением, рассмотреть, например, задачу о «магнитной стенке»:

Какова должна быть минимальная протяжённость области однородного магнитного поля, чтобы частица массой m, влетевшая со скоростью υ перпендикулярно к границе области и перпендикулярно к силовым линиям поля с индукцией В, не пролетела через неё?

После обсуждения задачи и её решения представляется целесообразным предложить для домашнего самостоятельного решения эту же задачу, изменив условия для угла влёта частицы:

оставив условие перпендикулярности векторов υ и В, угол влёта относительно границы области взять произвольным; неплохо пояснить порядок решения этой задачи, рекомендовав начать с рисунка, на котором обязательно зарисовать траекторию частицы.

Рассмотрим случай влёта частицы под произвольным углом к силовым линиям магнитного поля.

_ _ _

Разложив вектор скорости υ по компонентам υ║ и υ┴ , направленным соответственно параллельно и перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля, получим сначала выражение для радиуса траектории частицы:

Fл q·υ·B·Sinα

По ΙΙ закону Ньютона а = ---------- = ---------------------- ,

m m

с другой стороны, из кинематики криволинейного движения

можем записать

(υ┴)² υ²·Sin²α

a = ---------------- = --------------

R R

Приравнивая правые части вышеприведённых выражений,

в итоге получаем:

m· υ ·Sinα

R = -----------------------

q·B

Поскольку период обращения частицы

2π·R 2π·m

Т = ---------- = --------- ,

υ ┴ q·B

то за один период частица смещается вдоль силовой линии

на расстояние h, называемое шагом силовой линии:

2π·m· υ ·Cosα

h = -------------------

q·B

Обсудив полученные формулы для радиуса и шага винтовой линии, можно в качестве примера рассмотреть полярные сияния.

Неплохо, раз уж получили формулы для элементов R и h траектории частицы, вывести несколько ценных соотношений.

Это полезно для учащихся, поскольку даёт определённый опыт в решении задач, требующих определённой смекалки.

Рассмотрим отношение радиуса R винтовой линии к её шагу h:

R m· υ ·Sinα·q·B Sinα

------- = ------------------------ = ------------- ,

h 2π·m· υ ·Cosα·q·B 2π· Cosα

откуда получаем возможность определить угол α влёта частицы в однородное магнитное поле:

2π·R

tg α = ------------

h

Выразив из формулы радиуса и шага поперечную и продольную составляющие импульса частицы

m·υ·Sinα = q·B·R

h

m·υ·Cosα = q·B·-----,

2π

затем возводим их в квадрат и складываем, чтобы получить

возможность расчёта импульса частицы по элементам её

траектории:

h ½

m· υ = q·B·(R² + (-------)²) ,

2π

а также для кинетической энергии частицы можем, применяя

соотношение

p² (m· υ)²

Ек = ----------- = ----------- ,

2·m 2·m

получить:

q²·B² h

Ек = --------·(R² + (-------)²)

2·m 2π

Полученная формула для расчёта кинетической энергии частицы чуть упрощается при расчёте в электрон-вольтах, если частицей является протон или электрон:

ē·B² h ½

Ек = --------·(R² + (-------)²)

2·m 2π

Значительное время и место, по мнению автора, следует уделить решению задач именно по теме «сила Лоренца», что должно существенно облегчить в дальнейшем изложение темы «Электромагнитная индукция».

Для решения задач автор рекомендует взять из сборника

«3800 задач по физике для школьников и поступающих в ВУЗы»

№№ 13.51—13.72, 13.76--13.81, 13.96, дающие достаточно широкий выбор уровня сложности.

Для домашнего задания, кроме расчётных задач, можно задать вопросы типа:

Каким будет движение заряженной частицы в неоднородном (всё возрастающем) магнитном поле?

Какова роль магнитного поля Земли с точки зрения защиты от «солнечного ветра»?

Что представляют собой полярные сияния и почему они происходят именно в полярных областях?