Дифференцирующее звено первого порядка

Уравнение идеального дифференцирующего звена первого порядка имеет вид:

.

Практически такое звено реализовать невозможно. Реальное дифференцирующее звено первого порядка описывается уравнением вида:

Передаточную функцию получают из приведенного уравнения

При подстановке р=j имеем следующее аналитическое выражение на АФХ:

.

Частотная АФХ реального дифференцирующего звена приведена на рис.5.

Рис. 5. АФХ реального дифференцирующего звена.

Фазо-частотная характеристика дифференцирующего звена имеет положительный знак, т.е. звено создает опережение выходного сигнала относительно входного. Поэтому дифференцирующие звенья называются форсирующими. Выражение для ЛАЧХ имеет вид:

.

Построение функции второго слагаемого было рассмотрено ранее, а график функции, соответствующий первому слагаемому, представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 дб/дек и проходит через точку =1/Т. Суммарная ЛАЧХ и фазо-частотная характеристика () для этого звена изображены на рис.6.

Рис. 6. ЛАЧХ и фазо-частотная характеристика реального

дифференцирующего звена.

Примером реальных дифференцирующих звеньев могут служить схемы, составленные из R, C и L элементов (рис.7).

а)		б)

Рис. 7. Реальные дифференцирующие звенья

на R, C и L элементах.

Для схемы рис.7а

Обозначая RC=T, можем записать

Для схемы рис.7б:

Обозначив L/R=T, получим:

или окончательно

.

Колебательное звено

Колебательное звено – это звено второго порядка. Уравнение его имеет вид:

,

причем относительный коэффициент затухания <1, и чем он меньше, тем больше колебательность звена.

На основании этого АФХ равна

.

Вещественная и мнимая частотные характеристики:

.

Модуль и фаза частотной характеристики

На рис.8 изображена АФХ колебательного звена для различных .

Рис. 8. АФХ колебательного звена.

Выражение для ЛАЧХ звена имеет вид:

.

Асимптотическая ЛАЧХ состоит из двух полупрямых, пересекающихся при _с=1/Т. Для ее построения нужно провести прямую вдоль оси частот, соответствующую 20lg1, до точки =_с (первая асимптота), и из этой точки провести прямую с наклоном в 40дб/дек (вторая асимптота).

Уравнение асимптотической ЛАЧХ:

т.е. при низких частотах в общем выражении для L() второе слагаемое

можно считать равным нулю, а при высоких частотах

.

ЛАЧХ колебательного звена приведена на рис.9.

Рис. 9. ЛАЧХ колебательного звена.

При малых  асимптотическая ЛАХ в точке сопряжения дает большие погрешности и тем больше, чем меньше . Минимальная ошибка при =0,5. Для =1 ошибка в точке _с=1/Т составляет 6 дб. При 1 знаменатель передаточной функции можно разложить на два сомножителя первого порядка, т.е. передаточную функцию представить в следующем виде:

В этом случае звено называется апериодическим звеном второго порядка.

На рис.9 вместе с асимптотической ЛАХ (сплошная линия) приведены и точные характеристики для различных значений  (пунктирные линии).

Фазовая характеристика также зависит от , что следует из выражения для

.

На рис. 10 представлены несколько () для различных значений .

Рис. 10. Фазо-частотная характеристика колебательного звена.

Колебательное звено можно построить на элементах R, C и L (рис.11).

Рис. 11. Колебательного звено на элементах R, C и L.

Связь выходного сигнала звена с входным определяется дифференциальным уравнением второго порядка:

.

Если обозначить

и

,

то передаточная функция на основании вышеприведенного уравнения