2.5. Уравнение количества движения

Согласно второму закону Ньютона элементарное изменение количества движения равно элементарному импульсу силы:

(2.52)

Здесь Р — сумма проекций на какую-либо ось всех сил, приложенных к телу массы т, w — проекция скорости на ту же ось, dτ — время действия силы Р.

Применительно к потокам жидкостей и газов более удобна несколько иная (гидродинамическая) форма уравнения для ко­личества движения, которую получил впервые Эйлер. Выделим элементарную струйку (см. рис. 2.1) и проведем два нормальных к ее оси сечения 1 и 2. Разобьем всю массу жидкости, заключенную в объеме 1 — 2, на большое число ча­стей так, чтобы в пределах каждой из них, имеющей массу т, скорость движения w можно было считать постоянной, и уста­новим связь между проекциями сил и количества движения на ось х. Согласно уравнению (2.52) сумма проекций импульсов всех сил, приложенных к массе жидкости 1 - 2, равняется изменению проекции суммарного количества движения

(2.53)

Рассмотрим изменение суммарного количества движения, за время dτ, в течение которого выделенная масса жидкости переместится из положения 1 - 2 в положение 1’ — 2’ . Прирост сум­марного количества движения дол­жен быть равен разности количе­ства движения, взятого соответст­венно для масс 2 — 2' и 1 — 1', ко­торые в установившемся движении одинаковы:

Здесь dG — масса жидкости элемен­та 1 — 1’ (или 2 — 2'), w_x2, w_x1 — проекции на ось х скорости потока в сечениях 2 и 1. Элементарная масса dm равна произведение секундного массового расхода жидкости на промежуток вре­мени dτ:

Отсюда

Подставляя полученное выражение в исходное равенство (2.53), приходим к уравнению количества движения в гидродина­мической форме (первому уравнению Эйлера), согласно кото­рому сумма проекций всех сил, приложенных к струе жидкости на любом ее участке, равна приращению проекции секундного количества движения на этом участке, или произве­дению секундной массы на приращение проекции скорости:

(2.54)

Аналогичные уравнения можно составить и для двух других осей.

Применим уравнение количества движения к прямолинейной струйке постоянного сечения F. Проведем торцовые части кон­трольной поверхности нормально к направлению потока, причем пусть образующая боковой поверхности струйки параллельна оси х. Составим уравнение количества движения в направлении потока. На контрольную поверхность действуют силы давления, нормальные к ней. Поэтому проекции на ось х сил давления, приложенных к боковой поверхности, равны нулю. Изменение давления на участке между торцовыми сечениями струйки про­порционально силе, действующей на выбранный элемент жидко­сти. Эта сила, параллельная оси х, равна (p₁ —p₂)F. К боковой поверхности приложена сила трения, направленная параллельно потоку, против него: — Р_тр. Кроме того, между торцовыми сече­ниями струйки может находиться какая-либо машина, получаю­щая от газа техническую работу. Пусть проекция на направле­ние движения силы, с которой действует машина на газ, рав­на —Р. Итак, сумма проекций всех сил на ось х равна

По уравнению количества движения эта сила должна быть равна изменению количества движения:

(2.55)

Если расстояние между сечениями 1 и 2 бесконечно мало, то уравнение количества движения нужно записать в дифференци­альной форме:

Умножив все члены этого уравнения на скорость движения и разделив на массовый расход газа, получим уравнение работы всех сил для цилиндрической струйки, отнесенное к 1 кг газа,

Здесь использовано уравнение расхода в цилиндрической струйке

Нетрудно видеть, что стоящие в правой части члены представ­ляют собой работу сил трения

и техническую работу

Таким образом, уравнение количества движения для цилиндри­ческой струйки газа легко преобразуется в уравнение Бернулли

(2.56)

В дальнейшем уравнение количества движения для цилиндриче­ской струи газа мы будем применять в следующей форме:

(2.57)

При отсутствии трения и силового воздействия газа на какую-либо машину дифференциальное уравнение количества движения приобретает особенно простой вид:

(2.58)

Уравнение (2.58) выражает важное свойство газового потока. При отсутствии внешних сил и сил трения увеличение скорости потока может быть вызвано только уменьшением статического давления, и наоборот, торможение потока в этом случае всегда связано с увеличением давления в нем независимо от изменения осталь­ных параметров газа. В интегральной форме уравнение количе­ства движения для цилиндрической струйки запишется так:

или при условии Р_тр = 0 и Р = 0:

(2.59)

или

(2.60)

Важная особенность уравнения количества движения состоит в том, что с его помощью расчет действующих сил производится только по состоянию потока на контрольной поверхности без проникновения в сущность процессов, происходящих внутри этой контрольной поверхности. Поэтому уравнение количества движения позволяет во многих случаях достаточно точно рас­считать газодинамический процесс, не вникая в его детали.