Лекция 2. Уравнения газовой динамики для единичной струйки (4 часа)

План:

2.1. Уравнение неразрывности

2.2. Уравнение энергии

2.2. Предельная скорость движения газа. Число Маха.

2.4. Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли)

2.5. Уравнение количества движения

2.6. Расчет реактивной силы (тяги) (*)

2.1. Уравнение неразрывности

Выведем основные уравнения газовой динамики для эле­ментарной струйки газа, поперечные размеры которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянными все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа. Именно в таком виде уравнения газовой дина­мики применяются обычно в теории ДВС.

Чтобы получить уравнение нераз­рывности, рассмотрим стационарное (установившееся) движение элемен­тарной струйки газа (рис. 2.1). При стационарном движении в любой точ­ке пространства сохраняются неизмен­ными по времени скорость движения и состояние жидкости (плотность, давление, температура).

Рис. 2.1. Элементарная струйка

Рассмотрим некоторый участок струйки между двумя нор­мальными к поверхности тока сечениями 1 и 2; заметим, что в объеме 1—2 приток газа осуществляется только через попереч­ное сечение 1, а расход газа — только через сечение 2.

За бесконечно малый промежуток времени dτ выделенная часть струйки переместится в новое положение 1’ — 2'. Переме­щение состоит в том, что за время dτ заштрихованный объем 1'-2 вместит газ, вытесненный из области 1 — 1', а известное количество газа за то же время вытечет из этого объема и за­полнит область 2 — 2'. Приток газа в объем 1' — 2 составляет

(2.1.)

где ρ₁ — плотность газа в поперечном сечении 1, F₁ — площадь поперечного сечения 1. Расстояние между сечениями 1 и 1’ равно произведению скорости движения на элементарный про­межуток времени:

где w₁ — скорость в сечении 1, откуда

Расход газа из объема 1’ — 2 равен,, очевидно

При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплош­ности в движущейся среде приток газа должен равняться рас­ходу:

Отсюда после соответствующей подстановки получаем уравне­ние неразрывности — закон сохранения массы — для единичной струйки сжимаемой жидкости (газа) при установившемся те­чении

или wF=const (2.2)

В случае несжимаемой жидкости, т. е. при  = const, урав­нение (2.2) принимает более простую форму:

(2.3)

которая применима к газовым течениям в тех случаях, когда изменениями плотности газа можно пренебречь.

На основании уравнения (2.3) по расположе­нию линий тока в несжимаемой среде можно судить о скорости движения. В местах сгущения линий тока скорость растет; если линии тока раздвигаются, то скорость падает.

В газе, как нетрудно видеть из уравнения неразрывности (2.2), картина линий тока однозначно определяет изменение плотно­сти тока:

представляющей произведение плотности газа на скорость, т. е. массовый расход газа через единицу площади поперечного се­чения.

В местах сгущения линий тока плотность тока увеличивается, а в местах расхождения линий тока — убывает.

Уравнение постоянства расхода газа G=pwF=const мож­но представить также в дифференциальной форме

Поделив почленно это соотношение на pwF, получим:

(2.4)