Лекция 10. Случайные величины

1

Лекция 10. Случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Примеры случайных величин:

1)число выпавших очков при бросании игральной кости;

2)число произведенных выстрелов до первого промаха;

3)дальность полета артиллерийского снаряда.

При бросании игральной кости могут появиться числа: 1;2;3;4;5;6.

Наперед сказать какое число очков выпадет невозможно, потому что оно зависит от случайных причин, которые не могут быть полностью учтены. В

этом смысле число выпавших очков есть величина случайная. Числа

1;2;3;4;5;6 называют возможными значениями случайной величины.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все возможные значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины всегда бесконечно.

Так, в приведенных выше примерах 1 и 2 имеем дискретные случайные величины ( в примере 1 – с конечным множеством значений, в

примере – 2 – с бесконечным ), а в примере 3 – непрерывная случайная величина.

Случайные величины обозначают большими буквами латинского алфавита , а их возможные значения - соответствующими строчными буквами x, y, z .

3

Контроль; 0,01+0,1+0,89=1.

При графическом способе задания закона распределения на координатной плоскости строят точки (xi ; pi ) , а затем соединяют их отрезками прямой. Полученную ломаную линию называют многоугольником распределения. Для примера 1 многоугольник распределения изображен на рисунке 1.

Y

0,89

Рис. 1. Многоугольник распределения.

При аналитическом способе задания закона распределения указывают формулу, связывающую вероятности случайной величины с ее возможными значениями.

10.2. Примеры дискретных распределений

10.2.1. Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, в каждом из которых событие A

наступает с постоянной вероятностью p , следовательно, не наступает с постоянной вероятностью q 1 p . Рассмотрим случайную величину X -

Этот закон распределения называется биномиальным.

10.2.2 Распределение Пуассона

Если решить предыдущую задачу при условии, что число испытаний n

велико, а вероятность p появления события A в каждом испытании мала,

выражает закон распределения Пуассона для массовых ( n велико) и редких ( p мало) событий. Существуют таблицы для определения Pn (k) .

10.2.3. Геометрическое распределение

Рассмотрим случайную величину X - число испытаний, которые надо провести до первого наступления события A , если A наступает в каждом испытании с постоянной вероятностью p . Очевидно, что возможные значения X : x1 1, x2 2 ,…, xk k ,… . Пусть в первых (k 1) испытаниях A не наступило, а в k том испытании появилось. Вероятность этого сложного

события по теореме умножения вероятностей независимых событий

5

гипергеометрическим.

10.3. Числовые характеристики дискретной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их

вероятности. Обозначают математическое ожидание случайной величины X

6

Свойство 3. Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических

ожиданий сомножителей: M (X1 X 2 ... X n ) M (X1 ) M (X 2 ) ... M (X n ) .

Свойство 4. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий

слагаемых: M (X1 X 2 ... X n ) M (X1 ) M (X 2 ) ... M (X n ) .

Свойство 5. Математическое ожидание биномиального распределения

равно произведению числа испытаний n на вероятность появления события в одном испытании p : M ( X ) np .

Вероятностный смысл математического ожидания заключается в том,

что оно приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых

значений случайной величины.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее

математическим ожиданием. Обозначают отклонение символом X M ( X ) .

Теорема(свойство отклонения). Математическое ожидание отклонения

равно нулю M (X M (X )) 0 .

Доказательство: используя свойство 3, а затем, свойство 1

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Обозначают дисперсию символом D( X ) . Таким образом, по определению

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания

Дисперсия обладает следующими свойствами:

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равно нулю D(С) 0 .

7

Свойство 4. Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний n на вероятность p появления события и на вероятность q не появления события в одном испытании: D( X ) npq .

Средним квадратическим отклонением случайной величины X

называют квадратный корень из дисперсии ( X ) D( X ) .