Лекция 2 Методы интегрирования

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Коломенский институт филиал МГМУ

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

arcsin x2 C .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.05.2015

Размер:

502.65 Кб

Скачать

☆

Лекция 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.

2.1. Метод подстановки

Рассмотрим один из сильнейших методов для интегрирования функций – метод замены переменной или подстановки.

Пусть требуется найти интеграл

f (x)dx .

Причем, непосредственно проинтегрировать мы не можем, но известно, что первообразная существует.

Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив

x (t) ,

Где (t) - непрерывна, ее производная непрерывна и имеет обратную функцию. Тогда

dx= (t) dt.

Вэтом случае имеет место равенство

f (x)dx = f ((t)) (t)dt .

Для доказательства найдем производные от обеих частей равенства: По свойству 1 неопределенного интеграла ( f (x)dx) =f(x).

По правилу дифференцирования обратной функции	dt	=		1	.
	dx		(t)

Производную от правой части находим, считая, что x является функцией от t, тогда по правилу дифференцирования сложной функции

		dt				1	=f( (t) )=f(x).
( f ((t)) (t)dt) x	= ( f ((t)) (t)dt)t	dx	=f( (t) ) (t)			(t)	=f( (t) )=f(x).
		dx				(t)
Пример 1. Вычислить интеграл				dx	.


				(a 2 x2 )3
				(a 2 x2 )3

Целесообразно выполнить подстановку x=asint, тогда dx=acostdt, а

выражение a2-x2=a2-a2sin2t= a2(1-sin2t)= a2cos2t.

a cos t dt

tgt+C.

cos

)

Теперь надо вернуться к прежним переменным.

tgt=

sin t

a sin t

cos t

1 sin 2 t

a 2 a 2 sin 2 t

a 2 x 2

Следовательно,

+С=

+С.

)

Замечание: при интегрировании удобно подбирать замену не в виде x (t) , а в виде t (x) .

Пример 2. Вычислить интеграл sin3 x cos xdx .

Полагаем t-sinx, тогда dt=cosxdx. Заданный интеграл в новых переменных примет вид:

sin 3 xdx .

sin3 x cos xdx = t 3 dt	t 4	C .

4

Остается лишь вернуться к прежней переменной x.

sin3 x cos xdx = 14 sin 4 x C.

В этом примере удача подстановки t=sinx обусловлена наличием в подынтегральном выражении множителя cosxdx= dt. В этой связи поучителен следующий пример.

Пример 3. Вычислить интеграл

В этом примере подстановка t=sinx непригодна, так как нет множителя cosx.

Здесь удобна

подстановка

t cos x ,

тогда dt sin xdx , откуда

sin xdx dt .

Преобразуем заданный интеграл:

sin 3

xdx = sin 2

x sin xdx

= (1 cos 2

x) sin xdx = (1 t 2 ) (dt) =- dt + t 2 dt =-t+

t 3

+C=

cos3

x cos x C.

Пример 4.

Вычислить интеграл tg 2xdx.

tg 2xdx.=

sin 2x

dx .

cos 2x

Обозначим

cos 2x t ,

тогда

dt 2sin 2xdx ,

откуда sin 2xdx

dt . Тогда

заданный интеграл можно выразить в новых переменных

tg 2xdx.=

ln|t|+C.

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

tg 2xdx.

ln|cos2x|+C.

Пример 5. Вычислить интеграл 2x(x2 1)4 dx .

Обозначим x2 1 t , тогда dt 2xdx .

Заданный интеграл можно выразить в новых переменных

2x(x2 1)4 dx = t 4 dt =

t 5

C .

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

2x(x2 1)4 dx =

(x2 1)5

Пример 6. Вычислить интеграл

1 x

2dt.

Обозначим 1

x t , тогда dt

, откуда

Заданный интеграл выражаем в новых переменных

2dt

t 2

=2 t

dt =2

=4 t C .

1 x

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

=4 1

x C .

x 1 x

Пример 7. Вычислить интеграл

1 ln 2 x

Обозначим ln x t

, тогда dt

Заданный интеграл выражаем в новых переменных

= arcsin t C.

1 ln

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

= arcsin(ln x) C.

1 ln 2 x

Пример 8. Вычислить интеграл

(1 x2 )arctgx

Обозначим arctgx t , тогда dt

Заданный интеграл выражаем в новых переменных

= ln | t | C .

(1 x

)arctgx

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

= ln | arctgx | C .

(1 x2 )arctgx

Пример 9. Вычислить интеграл

xdx

1 x 4

Обозначим x2 t , тогда dt 2xdx ,

откуда xdx

dt .

Заданный интеграл выражаем в новых переменных

				1		dt
	xdx								1		dt			1
	xdx		=		2			=	1		dt		=	1	arcsin t C .
									2					2
1 x		4		1 t			2			1 t		2
1 x				1 t						1 t

Возвращаясь к прежним переменным, имеем

2.2. Метод интегрирования по частям.

Пусть u=f(x) и v=g(x) две функции от x, имеющие непрерывные производные

u		и	v		Тогда по правилу дифференцирования произведения
	f (x)			g (x) .
d(uv) udv vdu , или					udv d(uv) vdu .

Интегрируя обе части равенства, получаем udv d (uv) vdu . Применив свойство 3 неопределенного интеграла, окончательно имеем

udv uv vdu .

Эта формула выражает правило интегрирования по частям.				Оно заменяет
интегрирование	выражения				выражения
		udv uv dx , интегрированием

vdu vu dx . Поясним это примером.
Пример 10. Найти интеграл x cos xdx .
Положим u x , а dv cos xdx , тогда du dx , а v cos xdx sin x .
Замечание: в выражении для v		мы можем брать любую постоянную, она в
конечный результат не входит, поэтому ее удобно считать равной нулю.
Применив формулу интегрирования по частям, имеем
x cos xdx = x sin x sin xdx = x sin x ( cos x) C = x sin x cos x C .
Таким образом,	интегрирование позволило		заменить		сложную
подынтегральную функцию x cos x на простую sin x . Попутно,				для получения
v пришлось проинтегрировать		выражение cos xdx -	отсюда	и	название :

интегрирование по частям.

Применяя формулу интегрирования по частям к вычислению предложенного интеграла, приходится разбивать подынтегральное выражение на два множителя: u и dv . Из которых первый дифференцируется, а второй интегрируется. Нужно стараться, чтобы интегрирование dv не представляло трудностей и, чтобы vdu имело более простой вид, чем udv .

При некотором навыке нет надобности, вводить обозначения u, v , и можно сразу применять формулу.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, которые вычисляются с помощью интегрирования по частям. К ним относятся интегралы:

1). xk sin xdx , xk cos xdx ,

xk eaxdx , вычисляя

этот интегралов, полагают u xk

2). xk ln m xdx , в этом

интеграле полагают

u ln m x ,

3). xk arctgxdx , в этом

интеграле полагают u arctgx .

Пример 11. Найти интеграл x3 ln xdx .

Полагаем u ln x ,

dv x3dx , тогда

dx ,

v x3 dx =

x 4

По формуле

интегрирования по частям

x3 ln xdx = ln x

x 4

dx = ln x

x 4

x3 dx =

ln x -

x 4

C =

x 4

(4ln x 1) C .

Пример 12. Найти интеграл arctgxdx .

Полагаем u arctgx , dv dx . Тогда du

v x .

!x2

arctgxdx = arctgx x - x

= xarctgx -

xdx

1 x

Чтобы взять последний интеграл,

вводим переменную

t 1 x2 , тогда

dt 2xdx , откуда xdx

dt .

arctgxdx = xarctgx -

= xarctgx

= xarctgx -

ln | t | C .

Возвращаясь к

прежним переменным, имеем arctgxdx = xarctgx -

ln(1 x2 ) C .

Пример 13. Найти интеграл x2 sin xdx .

Полагаем u x2 , dv sin xdx , откуда,

du 2xdx ,

v cos x .

Тогда по формуле

интегрирования по частям

x2 sin xdx = x2 ( cos x) - ( cos x) 2xdx = x2

cos x + 2 x cos xdx .

Полагаем u x , dv cos xdx ,

откуда,

du dx ,

v sin x .

Тогда по формуле

интегрирования по частям

x2 sin xdx = x2 cos x +2 (x sin x sin xdx) = x2 cos x + 2x sin x 2cos x C .

Как видим, здесь правило интегрирования по частям пришлось применить два раза. Если бы x был в кубе, то интегрировать по частям пришлось бы три раза.

Любопытный

пример

представляют интегралы

I1 = eax cos bxdx

и I 2 =

eax sin bxdx .

Примет 14. Даны интегралы I1 = eax cos bxdx

и I 2 = eax sin bxdx .

Применим к ним интегрирование по частям

I1 :

u cos bx ,

dv eaxdx ,

откуда du bsin bxdx ,

eaxdx

eaxd (ax) =

eax .

Тогда I1 =

eax

cos bx

eax (b sin bx)dx =

eax cos bx +

eax sin bxdx . Как видим,

I1 =

eax

cos bx +

2 .

(1)

I 2 : u sin bx , dv eaxdx , откуда du b cos bxdx ,

eax .

Тогда I 2 =

eax

sin bx

eaxb cos bxdx =

eax sin bx

eax cos bxdx .

Как видим,

I 2 =

eax

sin bx

1 .

(2)

Таким образом, каждый из этих интегралов

выражается

через

другой

интеграл. Подставив I1

в (2), получаем

I 2 =

eax

sin bx

(

eax

cos bx +

I 2 ),

I 2 =

eax

sin bx

eax cos bx

I 2 ,

a 2

I 2

eax

sin bx

eax cos bx ,

a 2

eax ( a sin bx b cos bx ),

a 2

eax ( a sin bx b cos bx ),

a 2

Окончательно I

eax (a sin bx b cos bx)

a 2 b2

Подставив полученное выражение в формулу (1), получаем

eax

cos bx

b eax (a sin bx b cos bx)

eax

( cos bx +

b(a sin bx b cos bx)

a 2 b2

eax

a2 cos bx b2 cos bx ba sin bx b2 cos bx

eax

cos bx ba sin bx

a2 b2

a 2 b2

eax

a(a cos bx b sin bx)

a2 b2

Окончательно

eax (a cos bx b sin bx)

a 2 b2

2.3. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен.

2.3.1. Пусть нам дан интеграл I1

ax2

Преобразуем

квадратный

трехчлен

ax2 bx c = a(x2

) =

a(x2 2x

(

) = a((x

(

)2 ) = a((x

)2 k) ,

где

2a 2a

a 2a

(

, причем k

может быть как положительное, так и отрицательное

число. Тогда интеграл принимает вид

a((x

)

Сделаем замену t x

, тогда I1

t 2

Получили табличный интеграл (8), если k 0

или (10), если k 0 .

Пример 15. Вычислить интеграл

3x2 2x 2

3x2 2x 2 = 3(x2

)

= 3(x2 2

x (

)2 (

) = 3((x

(

) =

3((x

) =

3((x

) .

Тогда,

3((x

)

																																																											7
Воспользуемся,																						что							dx d (x																		1			)		и по формуле (8) таблицы интегралов при
Воспользуемся,																						что							dx d (x																3					)		и по формуле (8) таблицы интегралов при
																																													3

a				5				5					имеем
a													имеем
				9				3
																								d (x										1		)																														x				1
				dx												1																										1								1						arctg																											1								3x			1		C .
				dx								=				1																		3						=		1								1																				3		C							=				1					arctg			3x			1
			2	2x								=																1										5		=																																C							=									arctg
	3x			2x						2					3								(x					1		)		2						5				3 5										3															5			3														5							5

																												3										9


		2.3.2. Интеграл																									I 2																dx														, вычисляется таким же приемом, как и


																																							ax2 bx													c
																																							ax2 bx													c
								интеграл																		I1 .
Пример 16. Вычислить интеграл																																																											dx												.


																																																						2 3x 4x2
																																																						2 3x 4x2
Преобразуем квадратный трехчлен
2 3x 4x2 = 4(x2																									3							2			) =				4(x2												2x					3			(				3				)2 (					3		)2								2			)	= 4((x							3		)2			9	2		) =
2 3x 4x2 = 4(x2																																			) =				4(x2												2x								(								)2 (							)2											)	= 4((x									)2						) =
																									4						4																									8			8											8									4												8						64		4
4((x						3	)2						9								2			) = 4((x																3	)2										41		)	= 4(								41					(x								3			)2 ) .
				8						64											4																			8										64									64											8
Тогда													dx														=																dx																		=			1															dx											.

																																																																2
									2 3x 4x2																									4(					41			(x										3		)		2	)							2						41							(x									3		)	2

																																							64													8																		64																8
																																							64													8																		64																8
Воспользуемся,																						что dx d (x																								3			) ,				и по формуле (7) таблицы интегралов при
Воспользуемся,																						что dx d (x																							8				) ,				и по формуле (7) таблицы интегралов при
																																													8

a				41						41							имеем
a				64						8							имеем
				64						8
																																				d ( x								3				)																																				3
																																				d ( x												)																														x						3
					dx										1																											8																						1																											1						8x 3

																																																																																				8
														=																																																=							arcsin																		C =					arcsin								C .
																														41 ( x																						3) 2
																			2																																														2																										2
		2 3x 4x2																	2																																														2															41											2						41
																														64																						8																																8
																														64																						8
		2.3.3. Интеграл																											вида																			I3										(mx n)dx																						с							помощью											подстановки

																																																							ax2									bx c
																																																							ax2									bx c
								t ax2 bx c																									сводится к сумме табличного интеграла и интеграла
								вида I1 . Рассмотрим это на примере.
Пример 17. Вычислить интеграл																																																		(2x 1)dx
																																																																		.
																																																	5x2 x 2																	.
Пусть t 5x2 x 2 ,																															тогда												dt (10x 1)dx .																												Преобразуем,																						подынтегральное
выражение к такому виду, чтобы оно содержало dt .
																(		1		(10x 1)																	1		1)dx														(			1	(10x 1)																4			)dx
	(2x 1)dx										=						5																	5																=				5																5											.
											=						5																	5																=				5																5											.
	5x			x 2																				5x						x									2																					5x								x 2

Числитель поделим на знаменатель и воспользуемся свойством 4 неопределенного интеграла, что интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов, получаем

						1	(10x 1)			4		1	(10x 1)				4
	(2x 1)dx
					(	5				5	)dx =	5			dx		5
				=														dx =
				=														dx =
	5x		x 2			5x		x 2 5x		x 2		5x		x 2		5x	x 2
1		(10x 1)dx				4		dx
									.
5		5x2 x 2				5		5x2 x 2	.

Первый из этих интегралов выражается через переменную t и является табличным (формула (3) таблицы интегралов)

(10x 1)dx			=	dt	= ln \| t \| C = ln \| 5x2	x 2 \| C .

5x	2	x 2		t

Второй интеграл вида I1 . Для его вычисления в квадратном трехчлене выделим полный квадрат

5x2 x 2 5(x2							1	x				2		) = 5(x2					2x		1		(		1				)2	(	1		)2		2	) =
5x2 x 2 5(x2								x						) = 5(x2					2x				(						)2	(			)2			) =
						5					5										10		10							10					5
																						d (x						1		)
				dx						dx									1			d (x								)				1	1
				dx	=					dx								=	1								10					=		1	1
		2	x 2							1						39								1						39
	5x	2											2						5							2								5 39
	5x				5((x						)		2				)		5	(x					)	2								5 39
					5((x				10		)				100		)			(x			10		)					100					10
																																			10

arctg			10x 1		C .

			39
			39

5((x 101 )2 10039 ) .

	x		1
arctg	x	10		C =
		10


39
		10

Тогда исходный интеграл равен


(2x 1)dx		=	1		ln \| 5x2	x 2 \|	4	2			arctg		10x 1		C .

5x2	x 2			5			5
5x2	x 2			5			5		39				39
(2x 1)dx		=	1		ln \| 5x2	x 2 \|		8		arctg		10x 1		C .

5x2	x 2			5
5x2	x 2			5			5	39					39

2.3.4. Интеграл вида	I 4	(mx n)dx		с помощью подстановки t ax2	bx c


			ax2 bx c

сводится к сумме табличного интеграла и интеграла вида I 2 . Рассмотрим это на примере.

Пример 18. Вычислить интеграл

(x 3)dx

4x2 4x 3

Пусть

t 4x2

4x 3 ,

тогда

dt (8x 4)dx .

Преобразуем,

подынтегральное

выражение к такому виду, чтобы оно содержало dt .

(8x 4)

(x 3)dx

dx =

dx +

4x 3

(8x 4)dx

4x 3

Первый из этих интегралов выражается через переменную t и является табличным (формула (2) таблицы интегралов)

(8x 4)dx

t 12

2 dt =

C = 2 t C

= 2 4x

3 C .

4x 3

Второй интеграл вида

I 2 . Для его вычисления в квадратном трехчлене

выделим полный квадрат

4x2 4x 3 = 4x2 4x 1 2 = (2x 1)2 2 .

d (2x 1)

4x 3

(2x 1)

По формуле (9) таблицы интегралов

ln | 2x 1

(2x 1)2 2 | C = ln | 2x 1

(2x 1)2 2 | C .

4x2 4x 3

= ln | 2x 1

(2x 1)2 2 | C = ln | 2x 1 4x2 4x 3 | C .

4x2 4x 3

Тогда исходный интеграл равен

(x 3)dx

ln | 2x 1 4x2 4x 3 | C .

2 4x2 4x 3 +

4x2 4x 3

(x 3)dx

4x 3 +

ln | 2x 1

4x 3 |

C .

4x2 4x 3

2.3.5. Интеграл вида

ax2

bx cdx .

Выделив полный квадрат и введя новую переменную, получаем интеграл,

который берется по частям. Рассмотрим это на примере.
Пример 19. Вычислить интеграл
Пример 19. Вычислить интеграл																4x2		8x 3dx .
Преобразуем квадратный трехчлен
4x2 8x 3 =4( x2 2x									3	)=4( (x2				2x)				3	)=4( (x2					2x 1 1)						3	)=
					4													4												4
4( (x 1)2 1		3	)=4(		(x 1)2							1	)=4(		1		(x 1)2 ).
4( (x 1)2 1	4		)=4(		(x 1)2							4	)=4(	4			(x 1)2 ).
	4											4		4

											1										1		(x 1)2 dx .
Тогда 4x2	8x 3dx = 2										1	(x 1)2 dx =2									1
Тогда 4x2	8x 3dx = 2										4	(x 1)2 dx =2								4
											4									4
Пусть t x 1, тогда интеграл примет вид

							1	t 2 dt .
4x2 8x 3dx =2							1
4x2 8x 3dx =2					4
					4
																				2tdt					tdt
Положим u			1	t 2		, dv dt ,						тогда					du			2tdt					tdt			,	v t . Применив,
	4
																						1	t 2			1	t 2
																		2				1				1
																		2		4				4
																				4				4

формулу интегрирования по частям имеем

																																																			10
																															tdt
		1		t 2 dt = t					1				t 2							t											tdt								.
	4			t 2 dt = t					4				t 2							t																			.
	4								4																		1							t 2

																											4
																											4
																										t 2 dt
		1		t 2 dt = t					1				t 2													t 2 dt												.
	4								4
	4								4																			1					t			2
																											4						t
																											4
																							(			1				t 2 )											1	dt
	1								1																	1															1

				t 2 dt = t									t 2											4													4							.
																								4													4
	4								4
	4								4																									1
																																				t 2
																																		4		t 2
																																		4
																						(					1						t			2 )dt													1			dt
		1								1												(											t			2 )dt													1			dt
		1		t		2	dt = t			1					t			2									4																			4								.
	4								4
	4								4																							1														1							2
																																			t 2															t			2
																																4			t 2											4				t
																																4														4

	1			t 2 dt = t					1				t 2														1						t			2 dt						1								dt					.

	4								4																		4																4
	4								4																		4																4					1				t 2
																																														4						t 2
																																														4
																																							t
2			1		t 2 dt = t							1				t			2 +			1						arcsin											t			C .
2			4		t 2 dt = t							4				t			2 +			4						arcsin									1					C .
																																					2

	1						1							1								1																							C
				t 2 dt =					t								t 2 +												arcsin(2t)																		.
	4			t 2 dt =				2	t						4		t 2 +								8				arcsin(2t)																	2	.
Возвращаясь к прежним переменным, получаем
																					1																																			C
											dx =2(																											1		(x 1)2 +													1				).
		4x2 8x 3																						(x 1)														1															1		arcsin(2(x 1))
		4x2 8x 3																						(x 1)																															arcsin(2(x 1))
																			2																		4																8			2

4x2 8x 3dx = (x 1)14 x2 2x 1 + 14 arcsin(2x 2) C .

4x2 8x 3dx = (x 1) 34 x2 2x + 14 arcsin(2x 2) C .

Окончательно имеем

	1			1
4x2 8x 3dx =		(x 1)	4x2 8x 3 +		arcsin(2x 2) C .
	2			4

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015405.24 Кб58Лекция 10. Случайные величины.pdf
#
11.05.2015404.82 Кб15Лекция 11. Функция и плотность распределения.pdf
#
22.09.201958.88 Кб4Лекция 16. Русская философия XIX века.doc
#
22.09.201957.86 Кб6Лекция 17. Философия науки XX века.doc
#
25.08.2019375.3 Кб18Лекция 2 - Уравнения газовой динамики....doc
#
11.05.2015502.65 Кб21Лекция 2 Методы интегрирования.pdf
#
13.08.201970.14 Кб2Лекция 4.doc
#
13.08.201975.78 Кб6Лекция 5.doc
#
15.04.20191.38 Mб198Лекция 8 ХОИ.doc
#
15.04.2019376.83 Кб29Лекция 9 ХОИ.doc
#
16.11.2019600.58 Кб11лекция1посубдновая.doc