Лекция 1 Неопр интеграл

1

Лекция 1. Неопределенный интеграл и его свойства.

В прошлом семестре мы рассмотрели следующую задачу: дана функция F(x) необходимо найти ее производную f (x) = F (x) .

Теперь будем рассматривать обратную задачу: дана производная F (x) = f (x) , требуется найти саму функцию F (x) .

С механической точки зрения это означает, что по известной скорости движения точки необходимо восстановить закон ее движения.

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной от функции f (x) на интервале (a;b) , если во всех точках этого интервала F (x) дифференцируема

и F (x) = f (x) .

Пример1. Найти первообразную от функции f (x) =x4.

первообразная, где С – любое постоянное число ( С=const ).

Доказательство: (F(x) C) (F(x)) C f (x) .

Теорема 2. Если F1 (x) и F2 (x) - две первообразные для f (x) на (a;b) , то F1 (x) - F2 (x) =С на (a;b) , где С – любое постоянное число.

Доказательство: По условию F1 (x) = F2 (x) = f (x) для любого x (a;b) . Составим функцию (x) = F1 (x) - F2 (x) ,

очевидно, что (x) = F1 (x) - F2 (x) = f (x) - f (x) =0.

Но из равенства (x) =0 следует, что (x) есть постоянная. Следовательно, (x) =С или F1 (x) - F2 (x) =С, что и требовалось доказать.

Из этих теорем следует, что если данной функции f (x) найдена какая-нибудь одна первообразная F (x) , то любая другая первообразная для f (x) имеет вид

F (x) +С, где С=const.

Определение 2. Если F (x) является первообразной для f (x) , то выражение

F (x) +С, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и

обозначается f (x)dx .

Таким образом, по определению f (x)dx = F (x) +С, если F (x) = f (x) . При этом, знак называют знаком интеграла,

функцию f (x) - подынтегральной функцией,

2

выражение f (x) dx – подынтегральным выражением.

Операцию нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием функции. Таким образом проинтегрировать функцию значит найти все ее первообразные.

Неопределенный интеграл представляет собой семейство функций y= F (x) +С. Геометрически, это семейство кривых, каждая из которых получается путем сдвига вдоль оси Oy (Рис. 1).

y

Рис. 1

Эти кривые называют интегральными кривыми.

Естественно возникает вопрос, для всякой ли функции существует первообразная. Оказывается, что если f (x) непрерывна на (a;b) , то для нее существует первообразная на (a;b) , а, следовательно, и неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

( f (x)dx) = f (x) .

Действительно пользуясь определением 1, имеем

( f (x)dx) = (F(x) C) = f (x) .

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d ( f (x)dx) = f (x) dx.

В самом деле, f (x)dx = F (x) +С, тогда

Свойство 3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

dF (x) = F (x) +С.

По определению дифференциала функции dF(x)= F (x) dx, тогда имеем,

dF (x) = F (x)dx f (x)dx = F (x) +С.

Свойство 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов

( f1 (x) f2 (x))dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx .

По свойству 1

( ( f1 (x) f2 (x))dx) =f1(x)+f2(x).

С другой стороны

( f1 (x)dx + f2 (x)dx) = ( f1 (x)dx) + ( f2 (x)dx) = f1(x)+f2(x).

Так как производные слева и справа равны, то функции отличаются на постоянную величину. В этом смысле и следует понимать свойство 4.

Свойство 5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е., если С=const, то

Сf (x)dx = С f (x)dx .

Для доказательства найдем производные от левой и правой части

( Сf (x)dx) =Сf(x),

(C f (x)dx) =C ( f (x)dx) =Cf(x).

Производные слева и справа равны, следовательно, функции стоящие слева и справа отличаются только на постоянную величину.

Таблица интегралов.

Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основных формул дифференцирования:

1. 0dx C.

2.xn dx nx 1 C , при n 1.

3.x 1dx = dxx =ln|x|+C, при x 0.n 1

1, еслиx 0,

|x| signx =|x| =x.

1, еслиx 0

Тогда дифференцируя правую часть формулы 3 как сложную функцию, получаем

Следует отметить, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям.

Например, интеграл Пуассона e x2 dx не интегрируется в элементарных функциях.

интегралов окончательно получаем:

Применив, формулу 10 таблицы интегралов, где вместо a надо подставить 3,

Часто при вычислении интегралов используют прием подведения под знак дифференциала. В нем используют, что

Применив, формулу 3 таблицы интегралов, где вместо x надо подставить (x-

6