2.3. Предельная скорость движения газа. Число Маха

Рассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена, можно убедиться в том, что скорость истечения ни при каких условиях не может быть выше некоторой максималь­ной величины. Из соотношения

следует, что максимальная скорость достигается в том случае, когда теплосодержание в потоке равно нулю, т.е. когда полное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию

Отсюда получим формулу для максимального значения скорости в газе

(2.24)

Для того чтобы перевести газ из состояния покоя в движение со скоростью w, необходимо израсходовать часть его теплосо­держания, равную

Разделив обе части этого равенства на полное теплосодержание, получим

При постоянной теплоемкости это безразмерное выражение при­мет следующий вид:

Если теперь умножить и разделить правую часть на газовую постоянную R, учесть соотношение R = с_р — с_v и обозначить от­ношение теплоемкостёй через k = c_p/c_v, то получится

Но, как известно из физики, скорость звука в газе равна:

(2.25)

Поэтому степень использования теплосодержания газа для полу­чения заданного значения скорости потока определяется отно­шением скорости потока к скорости звука в неподвижном газе:

Отсюда выводится новое выражение для максимальной скорости истечения (T = 0):

(2.26)

Можно тепловой перепад разделить не на полное теплосодер­жание, а на теплосодержа-ние в потоке; тогда получим

В этом случае скорость потока оказывается отнесенной к скоро­сти звука в потоке, а не в неподвижном газе:

(2.27)

Отношение скорости потока к скорости звука в потоке при­нято называть числом Маха и обозначать буквой М:

(2.28)

Число Маха характеризует степень преобразования теплосодер­жания в кинетическую энергию потока

Число Маха является основным критерием подобия для газовых течений большой скорости.

Если M< 1, то течение газа называется дозвуковым, при М > 1 — сверхзвуковым.

Из последнего выражения можно получить расчетную фор­мулу для отношения температуры торможения к температуре в потоке как функцию числа Маха:

(2.29)

Поскольку скорость потока может быть как выше, так и ниже скорости звука, существует и такой режим, когда скорость потока равна скорости звука, т.е. М= 1. Этот режим назы­вается критическим; ему соответствует значение температуры в потоке:

(2.30)

Можно характеризовать степень преобразования теплосодер­жания в кинетическую энергию еще одним способом, поделив тепловой перепад на теплосодержание при критическом режиме:

(2.31)

Отсюда с помощью равенства (2.25) получаем новую формулу для отношения температур в энергетически изолированном газо­вом течении:

(2.32)

Эту величину, измеряющую отношение скорости потока к крити­ческой скорости , принято обозначать

(2.33)

и называть приведенной скоростью. На критическом режиме (w = w_кр = а_кр) приведенная скорость λ_кр = М_кр = 1. Максимальной скорости потока при Т = 0 со­ответствует определенное максимальное значение приведенной скорости

(2.34)

Приведенная скорость, как и число М, может считаться кри­терием подобия для газовых течений, характеризующим степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию.

Данному значению числа М соответствует совершенно опре­деленное значение приведенной скорости.

Формулу пе­рехода от числа М к приведенной скорости выглядит следующим образом:

(2.35)

или

(2.36)