Кафедра общей и технической физики

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Цель работы – экспериментальное определение коэффициента теплопроводности и удельного сопротивления металлов, проверка закона Видемана-

Франца.

Общие теоретические сведения

В металле атомы расположены близко друг от друга, потенциальные барьеры между соседними атомами снижены, электроны получают возможность туннелировать через эти барьеры, т.е. перемещаться от атома к атому, теряя свою принадлежность тому или иному атому. Поэтому металл можно представить как коллектив электронов и коллектив атомных остовов.

Такое перемещение электронов сложно описать, однако, учитывая, что в идеальной кристаллической решетке электроны практически не испытывают рассеяния при движении, можно сделать упрощение - считать электроны газом свободных частиц, имеющими эффективную массу m*. Электроны имеют спин 1/2 и подчиняются статистике Ферми-Дирака. Поэтому каждое разрешенное энергетическое состояние

может быть занято только двумя электронами в соответствии с принципом Паули. Следствием этого является распределение частиц по энергиям, которое в случае металлов приводит к отсутствию запрещенной зоны или к неполному заполнению разрешенной зоны. Уровень Ферми располагается внутри зоны. При Т=0 К все уровни ниже уровня Ферми заняты, а уровни выше уровня Ферми свободны. При T>0 K

кристалл получает энергию порядка kT, за счет этого возбуждения некоторые электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми EF, начинают заполнять состояния с более высокой энергией. Концентрация <nэл>свободных электронов в металле слабо

зависит от температуры, так как положение уровня Ферми практически не зависит от температуры. Она равна:

Электронный газ в металлах является вырожденным, т.е. подчиняется статистике Ферми-Дирака, вплоть до температур ~104 К. Вследствие этого в процессах

переноса могут принимать участие не все свободные электроны, а только небольшая их часть, имеющая энергию, близкую к энергии Ферми. Соответственно и скорости движения электронов мало отличаются от скорости, соответствующей энергии Ферми

vF.

Атомные остовы, образующие правильную кристаллическую решетку, совершают колебательные движения вблизи положений равновесия. В трехмерной кристаллической решетке возможны многие виды колебаний с различными частотами. Согласованные движения большого коллектива атомов также как и в случае электронов удобно описывать, вводя квазичастицы. Каждому колебанию сопоставляют квазичастицу – фонон. Возникновение колебаний эквивалентно «рождению» фонона, а прекращение колебаний – «уничтожению» фонона. Колебания решетки распространяются со скоростью звука, поэтому vфон = vзв. Существует максимальная частота колебаний кристаллической решетки ωD, которая носит название частоты

Дебая. Ей можно сопоставить температуру Дебая Θ: D k, где k – постоянная

Больцмана. Для меди ΘCu = 335 К, а для алюминия ΘAl = 419 К.

Фононы имеют целый спин и подчиняются статистике Бозе - Эйнштейна,

поэтому средняя концентрация фононов с энергией ħω при температуре Т равна

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

концентрация фононов пропорциональна температуре: ~<n> ~ T. При Т>Θ практически все фононы рождаются с максимальной энергией ħωD.

I. Теплопроводность

При создании градиента температуры в металлическом образце концентрации электронов и фононов на холодном конце образца будут меньше соответствующих концентраций на горячем конце образца. Стремление выровнять концентрации по всему объему образца приводит к возникновению направленных потоков фононов и электронов от горячего конца к холодному.

При направленном движении фононов и электронов возможно их рассеяние на других фононах и на дефектах кристаллической структуры. Это ограничивает длину свободного пробега ℓ, которая определяется средней концентрацией рассеивающих центров. При рассеянии на фононах длина свободного пробега обратно пропорциональна средней концентрации фононов <nф> и эффективному сечению

рассеяния σ*:

Эффективное сечение рассеяния определяется той областью пространства, которую охватывает атом при своих колебаниях. Если амплитуда колебаний равна А, то σ* ~ πA2 – площади сечения сферы радиусом А. При высоких температурах T>ΘD

почти все фононы имеют максимальную энергию и амплитуды колебаний у них одинаковы, что приводит к независимости σ* от температуры. Поэтому при высоких температурах длина свободного пробега как фононов, так и электронов оказывается обратно пропорциональна температуре: ℓ ~ 1/Т.

Вторым механизмом рассеяния является рассеяние на статических дефектах кристаллической решетки – ионах примесей, вакансиях, дислокациях и т.д. Концентрация этих дефектов и эффективное сечение рассеяния практически не зависит от температуры и сказывается только при низких температурах.

Определить теплоту, переносимую фононами и электронами, можно, зная соответствующие коэффициенты теплопроводности.

1. Решеточная теплопроводность.

Представление о тепловом движении атомов в металле как о газе фононов позволяет вычислять решеточную теплопроводность λ согласно молекулярно-

кинетической теории газов:

ф cфvзв ф

где cф – теплоемкость фононов, ℓф – средняя длина свободного пробега фононов, vзв –

средняя скорость фононов, равная скорости звука.

При T>Θ теплоемкость фононного газа равна cф = 3Nk, где N – число атомов в единице объема. Это приводит к зависимости λф ~1/T.

С уменьшением температуры теплоемкость начинает зависеть от температуры по кубическому закону Дебая cф ~ T3. При этом наиболее существенным фактором

являются уменьшение концентрации и увеличение длины свободного пробега фононов. Рост длины свободного пробега фононов ограничен рассеянием на дефектах структуры

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

и при низких температурах ℓф = const. Это означает, что при низких температурах T>Θ фононная теплопроводность пропорциональна кубу температуры λф~T3.

2. Электронная теплопроводность.

Считая электроны газом свободных частиц, можем записать для электронной теплопроводности

эл cэл vF эл

где cэл – теплоемкость электронов, ℓэл – средняя длина свободного пробега электронов, vF – средняя скорость электронов.

В области высоких температур T>Θ теплоемкость электронного газа линейно зависит от температуры cэл ~ Т. Это приводит к постоянству коэффициента электронной теплопроводности λэл ~ T·1/T = const.

По мере уменьшения температуры и соответствующего уменьшения концентрации фононов электронная теплопроводность растет с понижением температуры как λэл . При дальнейшем понижении температуры наступает момент, когда длина свободного пробега электронов становится константой. Это приводит к зависимости λэл ~ T при T<Θ.

3. Относительный вклад электронной и фононной подсистем.

Для определения вклада колебаний кристаллической решетки (фононов) и свободных электронов в теплопроводность металлов рассмотрим отношение их коэффициентов теплопроводностей

Для чистых металлов cэл/cф ≈ 10-2, vF/vзв ≈ 103, ℓэл/ℓф ≈ 10 и поэтому для них

λэл/λф~10-100, т.е. в металлах основными переносчиками тепла являются электроны. В

неупорядоченных сплавах длины свободного пробега как фононов так и электронов определяются главным образом структурными неоднородностями кристаллической решетки и в них электронная теплопроводность по порядку величину равна решеточной.

II. Электропроводность.

В отсутствии внешнего электрического поля электроны участвуют в тепловом хаотическом движении со средней тепловой скоростью <u>, при этом все направления

равноправны. Так как в металлах разрешенная зона заполнена не полностью, то даже слабое электрическое поле способно вызвать переход электронов на вышележащие свободные уровни. Переходы в нижележащие уровни невозможны, так как эти состояния заняты. Это приводит к тому, что электроны приобретают преимущественное направление скорости против внешнего электрического поля. Однако ускоряться могут не все электроны, а лишь небольшая часть электронов, имеющих энергии близкие к энергии Ферми (EF ± kT). Поэтому можно считать, что все

свободные электроны в металле имеют скорость, соответствующую энергии Ферми vэл = vF. Под действием приложенного электрического поля напряженностью E электрон с эффективной массой m* и зарядом e за время между соударениями τ приобретает средний импульс p и среднюю дрейфовую скорость vдр:

p m*vдр eE

Отсюда vдр = eEτ/m*. Время свободного пробега τ можно определить через длину свободного пробега ℓэл электрона τ=ℓэл/vF.

Плотность электрического тока при концентрации электронов n равна

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

j e E n E m*

Коэффициент пропорциональности σ между j и E представляет собой удельную

электропроводность. Удельное сопротивление металла есть обратная величина

Как видно оно зависит от импульса Ферми pF, концентрации электронов n и

длины их свободного пробега ℓэл. При изменении температуры энергия Ферми в металлах изменяется столь незначительно, что этим изменением можно пренебречь. Соответственно остаются неизменными vF и pF. Концентрация свободных электронов n

также изменяется очень незначительно. Поэтому электропроводность определяется в основном средней длиной свободного пробега.

Квантовые представления приводят к следующему выражению для удельной электропроводности металла

где – удельное сопротивление, e - элементарный заряд, n – концентрация электронов, ℓэл – средняя длина свободного пробега электрона, h – постоянная Планка.

Если считать, что каждый атом в металле поставляет один свободный электрон, то концентрация свободных электронов равна концентрации атомов и может быть рассчитана по формуле

где d – плотность металла; А – атомная масса; N0– число Авогадро.

В электропроводности под длиной свободного пробега понимается длина, на которой электрон полностью теряет свою скорость направленного движения, обусловленную приложенным электрическим полем. Это означает, что импульс электрона (приблизительно равный pF) должен измениться до нуля, т.е. изменение

практически равно самому импульсу. Поэтому основное влияние на длину свободного пробега будут оказывать взаимодействия с препятствиями, способными обеспечить такое изменение импульса электрона.

1. Рассеяние

При T>Θ, учитывая зависимости ℓэл и n от температуры в этом диапазоне

температур, для удельного сопротивления металла, обусловленного рассеянием на фононах, получим линейную зависимость ρф от температуры:

ф pF T. ne

Импульс фононов при этом достаточно велик, чтобы обеспечить изменение

импульса электрона от pF до нуля: ∆pэл ≈ pэл ≈ pф = kΘ/vзв.

При T<Θ эта зависимость нарушается. При понижении температуры рождается

все меньше фононов, их энергии становятся все меньше. Импульс фонона мал и его недостаточно для остановки электрона, т.к. изменение импульса электрона не может превышать импульс фонона. Нужны многократные столкновения с фононами, прежде чем импульс электрона сможет заметно измениться. Кроме того, уменьшаются амплитуды колебаний атомов, а соответственно и эффективное сечение рассеяния. Теоретический расчет показывает в этой области степенную зависимость удельного сопротивления от температуры : ρф ~ T5 . Экспериментальные значения показателя

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

степени лежат в пределах от 4 до 6. Температурный интервал, в котором наблюдается такая зависимость, обычно очень небольшой.

Сопротивление, обусловленное рассеянием на дефектах, ρост не зависит от температуры и называется остаточным сопротивлением.

2. Электропроводность в широком диапазоне температур

Для металлов справедливо правило Матиссена: полное сопротивление металлов суть сумма сопротивления, обусловленного рассеянием электронов на тепловых колебаниях решетки (фононах), и остаточного сопротивления, обусловленного рассеянием на статических дефектах структуры ρ = ρф + ρост. Исключение из этого правила составляют сверхпроводящие металлы, в которых остаточное сопротивление равно нулю и полное сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры.

ρ

Рис. 1. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры.

Взависимости удельного сопротивления металла от температуры в широком диапазоне температур (рис. 1) можно выделить несколько характерных участков:

I – наблюдается сверхпроводимость у чистых металлов и остаточное

сопротивление у металлов с дефектами;

II – переходная область с сильной степенной зависимостью ρ ~ Tm , где показатель степени убывает от m=5 до m=1 при T=Θ;

III – линейный участок, у большинства металлов простирается до температур,

порядка ⅔Θ, т.е от комнатных до близких к точке плавления;

IV – вблизи точки плавления начинается отклонение от линейной зависимости,

вызванное ангармоничностью колебаний кристаллической решетки.

Вобласти линейной зависимости удельного сопротивления от температуры

справедливо выражение ρ = ρ0[1+α(T-T0)], где Т0 – начальная температура, ρ0 – удельное сопротивление при Т0, α – температурный коэффициент удельного

сопротивления, показывающий насколько изменяется удельное сопротивление при изменении температуры на один Кельвин.

III. Закон Видемана-Франца.

Рассмотрим отношение удельной теплопроводности к удельной электропроводности при заданной температуре:

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

1) Собрать схему измерений в соответствии с рис.3.

Рис.3. Экспериментальная установка для измерения теплопроводности.

Ознакомиться с работой измерителя температур 4-2. Измеритель температур 4-2

имеет два индикаторных окошка, к которым можно подключить любой из датчиков температуры. Датчик подключенный к верхнему индикатору, отмечается красным светом, датчик, подключенный к нижнему индикатору, обозначается зеленым светом. Переключение от одного датчика к другому осуществляется последовательным нажатием кнопки T1…4 . Измеритель имеет возможность показывать температуру как в

градусах Цельсия, так и в Кельвинах (переключатель ºС/К). Кроме того возможна индикация разности температур двух датчиков (кнопка Т).

2)Взять образец металла; конец без изоляции вставить в верхний калориметр К1, при необходимости покрыть конец теплопроводящей пастой.

3)Нижний калориметр К2 поставить так, чтобы при необходимости он мог быть удален без демонтажа образца; изолированный конец образца должен был полностью погружен в холодную воду.

4)Расположить контактные датчики температур D1 и D2 в специальных

углублениях (расположенных как можно дальше друг от друга), расстояние между которыми равно 31,5 см. Для улучшения контакта использовать теплопроводящую пасту. Датчики должны быть расположены как можно ближе к поверхности образца.

5)Полностью заполнить водой верхний калориметр К1, чтобы не надо было доливать воды. Включить кипятильник и довести воду до кипения.

6)Заполняем водой комнатной температуры нижний калориметр К2,

предварительно взвесив воду. Для этого:

- вынуть стакан из нижнего калориметра и взвесить его; - налить воды и взвесить стакан с водой;

- по разнице веса полного и пустого стакана определить вес воды.

Весы находятся на столе преподавателя.

4. Измерение теплопроводности первого металла.

Измерения проводятся на измерителе температур 4-2 с интервалом 5 мин. в течение 50

минут. Данные занести в табл.2.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

5. Измерение электропроводности второго металла.

Параллельно с измерением теплопроводности первого металла измерить электропроводность второго металла в соответствии с пунктом 2. Данные занести в табл.3.

Табл.3.

V. Обработка результатов измерений.

1. Расчет теплопроводности металла.

1)построить графики зависимостей Tнижн от времени и ΔTD от времени; определить диапазон времени, при котором ΔTD остается приблизительно постоянной;

2)по увеличению температуры ΔT воды в нижнем калориметре К2 найти количество сообщенной ей теплоты:

Qобщ свmв Cнижн T ,

где cв = 4,19 Дж/(г·К) теплоемкость воды, mв - масса воды в нижнем калориметре, T=Tнижн-Т0 и T0 – температура нижнего калориметра в момент времени t=0; Cнижн=78

Дж/К - теплоемкость нижнего калориметра.

Построить зависимость Qобщ от времени, по наклону зависимости найти общий поток теплоты, передаваемый нижнему концу dQобщ/dt.

3) Теплота, подведенная к калориметру К2, складывается из тепла, переданного окружающей средой, и тепла, передаваемого по образцу:

dQMe dQобщ dQокр .

dt dt dt

Так как нижний калориметр находится при комнатной температуре, то поток тепла из окружающей среды к К2 отсутствует и

где TD – средняя разность температур между датчиками D1 и D2 в выявленном диапазоне времени (из табл.2), S– площадь сечения образца S=4,91·10-4 м2.

Отсюда находим теплопроводность металла:

2. Расчет удельного сопротивления металла.

1)По данным табл.1 и табл.3 построить ВАХ для каждого из металлов.

2)Рассчитать сопротивление R, удельную проводимость σ и удельное сопротивление ρ металлов. Сопротивление R определяется по наклону ВАХ. Удельная

проводимость и удельное сопротивление равны, соответственно,

σ=ℓ/(RS) и ρ=1/σ,

где ℓ=31,5 см, S=4,91·10-4 м2 - сечение образцов. Расчетные данные занести в табл.1 и

табл.3.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

3. Определение средней длины свободного пробега электрона.

Используя формулы (1) и (2) рассчитать длины свободного пробега для обоих металлов. Сравнить полученные величины.

4. Проверка закона Видемана-Франца.

Рассчитать число Лоренца для металла из выражения λ/σ=LT для комнатной

температуры. Сравнить с теоретическим значением.

5. Расчет теплопроводности второго металла.

Используя число Лоренца и соотношение Видемана-Франца рассчитать

коэффициент теплопроводности второго металла. Сравнить с экспериментальными данными для первого металла.